哥德巴赫猜想是什么?

哥德巴赫猜想是什么

1742年6月7日，彼得堡科学院院士欧拉收到了老朋友哥德巴赫的一封来信，。信中提出了这样一个猜想：随便取一个大于5的奇数，都可以将它写成素数之和，比如77=53+17+7,461=449+7+5。 哥德巴赫无法证明，因而只好求助欧拉的帮助。同年6月30日，欧拉在给哥德巴赫的回信中写道：亲爱的朋友，的这个命题，我作了认真的推敲和研究，看来是正确的，但我也给不出严格的证明。这里，在你的基础上我认为：任何一个大于2的偶数，都是两个素数之和。 不过这个命题也无法给出一般性证明。后来，欧拉把他的信公布于世，请世界上所有数学家一同解决这个数论上的难题。 　　当时数学界把他们通信中涉及的问题，称为...全部

   1742年6月7日，彼得堡科学院院士欧拉收到了老朋友哥德巴赫的一封来信，。信中提出了这样一个猜想：随便取一个大于5的奇数，都可以将它写成素数之和，比如77=53+17+7,461=449+7+5。
  哥德巴赫无法证明，因而只好求助欧拉的帮助。同年6月30日，欧拉在给哥德巴赫的回信中写道：亲爱的朋友，的这个命题，我作了认真的推敲和研究，看来是正确的，但我也给不出严格的证明。这里，在你的基础上我认为：任何一个大于2的偶数，都是两个素数之和。
  不过这个命题也无法给出一般性证明。后来，欧拉把他的信公布于世，请世界上所有数学家一同解决这个数论上的难题。 　　当时数学界把他们通信中涉及的问题，称为"哥德巴赫猜想"，并把它归纳为： 　　（1）大于2的公里数都可以表示为3个素数之和。
   　　（2）大于5的奇数都可以表示为3个素数之和。 　　显然，如果（1）成立，那么（2）必然成立，因为大于5的任一奇数N奇=（N奇-3）+3，而由（1）可知，N奇-3=p1+p2,其中p1,p2为素数，p3=3时，那么就有N奇=p1+p2+p3,反之，若（2）成立，却反推不出（1）来。
   　　"哥德巴赫猜想"公布200多年了，尽管无数数学家为解决这个猜想付出了艰辛的劳动，但迄今为止，它仍然是一个没有被证明，也没有被推翻的猜想。 　　面对"哥德巴赫猜想"的挑战，许多数学大师都表现了大无畏的英雄气概。
  尽管还没有最终解决，但也有了巨大的进展。 　　19世纪数学爱康托耐心地验证了1000以内所有偶数；而奥培利又试验了从1000到2000的所有偶数。他们断定，在所试的范围内，猜想是正确的。 　　1911年梅利指出，从4＊10 6->9*10 6之间，绝大多数偶数都是两素有选举权之和，仅有14个数情况不明。
   　　后来，更有人验算到了33000万之数，都表明猜想是正确的。 　　1900年，著名数学家希尔伯特在国际数学会的中，把"哥德巴赫猜想"列入23个难题之中，介绍给20世纪的数学家来解决。 　　1912年，在第五届国际数学家会议上，著名的数学爱兰道发言说："'哥德巴赫猜想'即使改成较弱的命题（3），也是现代数学爱力所不能及的。
  " 　　命题（3）的内容是：不管是不超过3个，还是不超过30个，只要你想证明存在着一个这样的正数C，而能"使每一人于或等于2的整数，都可以表示为不超过C个素数之和"。 　　1930年，苏联25岁的数学爱史尼尔里曼创造了"密率论"，成功地证明了兰道说的那个现代数学家力所不能及的命题（3），还估计了C这个数不会超过K，且K<=8*10 5。
   　　这个"哥德巴赫猜想"研究史上的重大突破，大大激发了数学家们向"哥德巴赫猜想"进军的勇气。1937年，苏联数学家伊·维诺哥拉多夫成功地证明了：充分大的奇有选举权，都可以表示为这三个奇开绿灯数之和。
  他的工作，相当于证明节史尼尔里曼成果中的K<=4。 　　这样命题（2）基本被解决了。 　　在研究"哥德巴赫赤猜想"的道路上，我国是走在最前列的。将猜想化为因子哥德巴赫问题，即先将偶数N写成两个自然数之和N=n1+n2，而n1,n2里的素因子个数记为a1,a2,如果能证明对于每一个偶数N,总有a1=a2=1,也就是能证明了1+1，则哥德巴赫问题就解决了。
   　　当代数学大师华罗庚在20世纪30年代证明了几乎所有的偶数"1+1"成立。 　　1956年，我国年轻的数学家王元，证明了"3+4"。接着1957年，他又证明了"2+3"，使我国在探索"哥德巴赫猜想"方面走在了世界前列。
   　　1962睥，我国年轻的数学家潘承洞，首先证明了"1+5"。后来在1963年，王元、潘承洞又分别证明了"1+4"。 　　1966年，新中国培养出的第一代数学家陈景润，宣布证明了"1+2"。
  这是迄今为止最好的成绩，他在极其艰难的条件下，勤勤恳恳，坚苦奋斗，终于在1973年发表了震惊世界的论文《大偶数表为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》。他的这篇论文，被外国誉为"陈氏定理。
  " 哥德巴赫本来是普鲁士派往俄罗斯的一位公使。后来，他成了一名数学家。 哥德巴赫和费尔马一样，很喜欢和别人通信讨论数学问题。不过，他在数学上的成就和声望，远远不如费尔马，有的人甚至认为他不是数学家。
  其实，有资料说，他是彼得堡科学院院士。 哥德巴赫与另一名彼得堡科学院院士、著名数学家欧拉经常通信。他们有15年以上的通信历史，经常讨论的是数学问题。 1742年6月7日，哥德巴赫写信告诉欧拉，说他想冒险发表一个猜想：“大于5的任何数是三个素数的和。
  ”这里要顺便交待一句，有一个时期，人们把1看成是特殊的素数；后来，才像今天这样，把1与素数严格区别开来。同年6月30日，欧拉在给哥德巴赫的回信中说，他认为：“每一个偶数都是两个素数之和，虽然我还不能证明它，但我确信这个论断是完全正确的。
  ” 这次通信的内容传播出来后，当时数学界把他们两人通信中谈到的问题，叫做哥德巴赫问题。后来，它被归纳为： 命题A：每一个大于或者等于6的偶数，都可以表示为两个奇素数的和； 命题B：每一个大于或者等于9个奇数，都可以表示为三个奇素数的和。
   这就是今天我们所说的哥德巴赫猜想，实际上，应该是哥德奇巴赫——欧拉猜想。比如 50=19+31，51=7+13+31 52=23+29，53=3+19+31 当然，表示方法可能是很多的。
  比如 50=3+47=7+43=13+37=19+31 很明显，如果命题A成立，那么，命题B也就成立。因为假设N是大于或者等于9的奇数，那么，N-3就是大于或者等于6的偶数。命题A成立，就是存在着奇素数P1与P2，使得N-3=P1+P2，这就是N=3+P1+P2，就像前面的50与53的关系一样。
  但反过来，如果证明了命题B成立，并不能保证命题A就一定成立。 19世纪的很多大数学家，都研究过哥德巴赫猜想，但是进展不大。 1900年，希尔伯特在巴黎国际数学家会议上，提出了23个研究题目，这就是有名的希尔伯特问题，可以说这是23个大难题。
  哥德巴赫猜想命题A，与另外两个有关的问题一起，被概括为希尔伯特第八问题。 到了1912年，在第五届国际数学会议上，著名的数论大师兰道发言说，哥德巴赫问题即使改成较弱的命题C，也是现代数学家所力不能及的。
   命题C意思是：不管是不超过3个，还是不超过30个，只要你想证明存在着一个这样的正数c，而能“使每一个大于或等于2的整数，都可以表示为不超过c个素数之和”。 过了9年，到了1921年，著名数论大师哈代在哥本哈根召开的国际数学会上说：哥德巴赫猜想的困难程度，可以与任何没有解决的数学问题相比拟。
  哈代也认为是极其困难的，但是不像兰道说得那样绝对。 1930年，苏联25岁的数学家西涅日尔曼，用他创造的“正密率法”，证明了兰道说的那个现代数学家力不能及的命题C，还估算了这个数c不会超过S，并算出S≤800000，人们称S为西涅日尔曼常数。
   西涅日尔曼的成就震惊了世界。这是哥德赫猜想研究史上的一个重大突破。可惜他只活了33岁。 1930年以后，包括兰道在内的很多数学家，竟相缩小S的估值，到1937年，得到S≤67。 在1937年，哥德巴赫猜想的研究，又取得了新的成就。
  苏联著名的数学家伊·维诺拉多夫，应用英国数学家哈代与李脱伍特创造的“圆法”，和他自己创造的“三角和法”证明了： 充分大的奇数，都可以表示为三个奇素数之和。 伊·维诺格拉多夫基本上解决了命题B，通常称为“三素数定理”。
   坚固无比的堡垒哥德巴赫猜想，正在被人们逐个攻破。 这里要注意，命题B所说的是每一个大于或者等于9的奇数，都可以表示为三个奇数之和。数学家在证明这个命题时，往往把9放大到很大很大，比方说放大到十万，人们只要证明每一个大于十万的奇数，都可以表示为三个奇素数之和，就算基本上证明了命题B。
  对于剩下的那一部分从九到十万的有限个奇数，是否每个都可以表为三个奇素数之和，可以暂时不管，留待以后去检验。所以叫做“基本上”证明了命题B。 实际上，维诺格拉多夫未检验的有限个奇数，是9到10的400万次方之间的奇数，即1后面跟400万个0那么多个数中的奇数。
  如果真要去逐个检验每个是否能表为三个奇素数的和的话，那时还没有电子计算机，就算用现在最快的电子计算机，从他那时算到现在也算不完。再说也没有那么大的素数表供他使用。前面已经介绍过，现在最好的素数表才编到五千万。
  可见凡是大于10的400万次的奇数都能表为三个奇素数之和，这点被证明了，这就更不简单了。因为前面的那些奇数到底还是有限个，而这里证明了的是无穷多个！ 维诺格拉多夫的工作，相当于证明了西涅日尔曼常数S≤4。
   命题B基本上被解决了，于是有些不太了解数论情况的人，曾经认为只差一步就到命题A了，谁知这一步的腿迈出了40多年，还没有着地哩！ 有人核对过从6到3300万的任何偶数，都能表为两个奇素数之和。
  这种核对工作是一直有人在作的。 有的人核对，是想找到一个不能表为两个奇素数之和的偶数，即找到一个反例，一举否定哥德巴赫猜想。这样，哥德巴赫猜想便宣告解决。 有的人核对，是想得到一些统计数字，摸清一些规律，为证明哥德巴赫猜想作准备。
   当然，也有人可同时兼有上述两种意图。 这里要注意，无论是从6算到3300万也好，还是从6算到3300亿也好，都是有限个数。由这些有限个数统计出的任何数据，除非是反例，都是不能用来当作证明的依据。
   在命题A的研究过程中，人们引入了“殆素数”的概念。 什么叫殆素数？我们知道，除1以外的任何一个正整数，一定能表示成若干个素数的乘积，这其中的每一个素数，都叫做这个正整数的一个素因子。
  每一个正整数，相同的素因子要重复计算，它有多少个素因子，是一个确定的数。如果这个正整数本身就是素数，就说它只有一个素因子。以25到30这六个数为例： 25=5×5 有2个素因子 26=2×13 有2个素因子 27=3×3×3 有3个素因子 28=2×2×7 有3个素因子 29是素数 有1个素因子 30=2×3×5 有3个素因子 殆素数就是素因子（包括相同的和不同的）的个数不超过某一个固定常数的自然数。
  例如25到30的六个数中，25、26、29三个数，是素因子不超过2的殆素数，其余三个不是。要是说素因子不超过3的数是殆素数，那这六个数就是殆素数。 应用殆素数的概念，可以提出一个新命题D，通过对这个命题的研究，来接近命题A。
   命题D：每一个充分大的偶数，都是素因子的个数不超过m与n的两个殆素数之和。 这个命题简记为“m+n”。 注意，这里的“3+4”或者“1+2”等是数学命题的代号，与3+4=7或者1+2=3毫无任何关系。
  就像有的电影院把座位13排8号简写作“13-8”，与13-8=5没有任何关系一样。 例如，“1+2”就是每个充分大的偶数，都可以表示成素因子的个数不超过1个（即素数），与素因子的个数不超过2个的两个数的和。
  比如100=23+7×11，434=31+13×31，168=79+89等都是合乎要求的。如果能证明，凡是比某一个正整数大的任何偶数都能像这样，表示成一个素数加以两个素数相乘，或者表示成一个素数加上一个素数，就算证明了“1+2”。
   如果能证明“1+1”，就基本上证明了命题A，也就是基本上解决了哥德巴赫猜想。等到那时，哥德巴赫猜想就该叫哥德巴赫定理了。——人们已经为此奋斗了将近240年。 。收起