初三圆的问题
如图,已知半圆O的直径AB=4,将一个三角板的直角顶点固定在圆心O上,当三角板绕点O转动时,三角板的两条直角边与半圆分别交于C,D两点,连接AD,BC交于点E,设BD=x,求△AEC的面积y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
全部回答
BD=x，△AEC的面积 =y。设AC=z
角ACB=角ADB=角COD=90度；角CAD=角CBD=(角COD)/2 =角AEC=角BED =45度
因此，BD=DE=x，AC=CE=z，AD=DE+AE=x +z*根号2
在△ABD中，AB^2 = AD^2 +BD^2 ===> 4^2 = (x +z*根号2)^2 + x^2 。
。。。(1) 而，y = AE*CE/2 = (y^2)/2 。。。。(2) 解得：y = 4 -x*[根号(16-x^2)]/2 y >= 0，可解得：0 <= x <= 2*根号2 因此，函数关系为：y =4 -x*[根号(16-x^2)]/2 x的取值范围：x = [0,2*根号2] 。
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。。。(1) 而，y = AE*CE/2 = (y^2)/2 。。。。(2) 解得：y = 4 -x*[根号(16-x^2)]/2 y >= 0，可解得：0 <= x <= 2*根号2 因此，函数关系为：y =4 -x*[根号(16-x^2)]/2 x的取值范围：x = [0,2*根号2] 。
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弧CD=90度--->弧AC+弧BD=90度----> ∠CBA+∠DAB=∠AEC=45度
又∠BCA=90度--->△AEC是等腰直角三角形，其面积y=(1/2)AE^--->AE^=2y
sin∠DAB=BD/AB=x/4--->cos∠DAB=√(1-x^/16)
AE=ABsin∠CBA
--->(2y)^=16sin^∠CBA)
--->4y^=8[1-cos(2∠CBA)]=8{1-cos[2(45度-∠DAB)]}
--->4y^=8[1-cos(90-2∠DAB)]=8[1-sin(2∠DAB)]
--->4y^=8-16sin∠DABcos∠DAB=2-x√(16-x^)
(2-4y^)^=x^(16-x^)
x的取值范围是：0＜x＜2√2
。
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