关于f(z)=argz的问题规定
规定argz的值域是(-π,π]，那么在除了负实轴和零点的复平面上，f(z)=argz是否可导？
不可导,
因为Z→Z0时,(argZ-argZ0)/(Z-Z0)不存在。
举例说明:
不妨设
Z=X+Yi,X>0,Y>0
Z0=X0+Y0i,X0>0,Y0>0
ΔZ=Z-Z0
=(X-X0)+(Y-Y0)i
=ΔX+ΔYi
argZ-argZ0
=arctan(y/x)-arctan(y0/x0)
=arctan{[(y/x)-(y0/x0)]/[1 +(y/x)(y0/x0)]}
=arctan{[-y0(Δx)+x0(Δy)]/[xy+(x0)(y0)]}
∵当ΔZ→0,即ΔX→0,Δ...全部
规定argz的值域是(-π,π]，那么在除了负实轴和零点的复平面上，f(z)=argz是否可导？
不可导,
因为Z→Z0时,(argZ-argZ0)/(Z-Z0)不存在。
举例说明:
不妨设
Z=X+Yi,X>0,Y>0
Z0=X0+Y0i,X0>0,Y0>0
ΔZ=Z-Z0
=(X-X0)+(Y-Y0)i
=ΔX+ΔYi
argZ-argZ0
=arctan(y/x)-arctan(y0/x0)
=arctan{[(y/x)-(y0/x0)]/[1 +(y/x)(y0/x0)]}
=arctan{[-y0(Δx)+x0(Δy)]/[xy+(x0)(y0)]}
∵当ΔZ→0,即ΔX→0,ΔY→0时
arctan{[-y0(Δx)+x0(Δy)]/[xy+(x0)(y0)]}
-----------------------------------------
{[-y0(Δx)+x0(Δy)]/[xy+(x0)(y0)]}
→1
∴
。
。。argZ-argZ0
lim----------
。。。。。。Z-Z0
。。。。。。(argZ-argZ0)/{[-y0(Δx)+x0(Δy)]/[xy+(x0)(y0)]}
=lim --------------------------------------------
。
。。。。。。。(ΔX+ΔYi)/{[-y0(Δx)+x0(Δy)]/[xy+(x0)(y0)]}
。。。。。。[-y0(Δx)+x0(Δy)]
=lim ---------------------
。
。。。。(ΔX+ΔYi)[xy+(x0)(y0)]}
当ΔX,ΔY从不同路径,以不同速度,趋于0时
上述极限不存在,
[比如:沿路径y=x^2,上述极限=-1/(2x0)
或沿路径x=y^3,上述极限=-i/(2y0)]
所以argz在区域{z|z=x+yi,x>0,y>0}不可导。
其余区域的讨论类推。
[不会尚理先生的贴图上传方法,表达过程费解,抱歉!请行家解答吧。]。收起
