证一个不等式已知(xy+2yz+
看来是题目打错了，上界应该是 (√33 + 1)/4 ！！！
设 (xy + 2yz + 2zx) / (x² + y² + z²) = m
则 m(x² + y² + z²) - (xy + 2yz + 2zx) = 0
整理为 mz² - 2(x+y)z + m(x²+y²)-xy = 0
当m=0时，自然满足 m ≤ (√31 + 1)/4
当m≠0时，因为满足上述方程的实数 z 必须存在，
所以 △ = 4(x+y)² - 4m²(x²+y²) + 4...全部
看来是题目打错了，上界应该是 (√33 + 1)/4 ！！！
设 (xy + 2yz + 2zx) / (x² + y² + z²) = m
则 m(x² + y² + z²) - (xy + 2yz + 2zx) = 0
整理为 mz² - 2(x+y)z + m(x²+y²)-xy = 0
当m=0时，自然满足 m ≤ (√31 + 1)/4
当m≠0时，因为满足上述方程的实数 z 必须存在，
所以 △ = 4(x+y)² - 4m²(x²+y²) + 4mxy ≥ 0
整理得 (1-m²)y² + (2+m)xy + (1-m²)x² ≥ 0
进而得 (1-m²)(y/x)² + (2+m)(y/x) + (1-m²) ≥ 0
因为满足上述不等式的(y/x)必须存在，
故 当 m²≤1 时，也自然满足 m ≤ (√31 + 1)/4；
当 m²＞1 时，必须 ▲ = (2+m)² - 4(1-m²)² ≥ 0
其中，当 m＜-1时，自然满足 m ≤ (√31 + 1)/4;
当 m＞1时，2+m ≥ 2(m²-1)，
即 2m² - m - 4 ≤ 0
解得 1 ＜ m ≤ (1+√33)/4
综上所述，必有 m ≤ (1+√33)/4
即 (xy + 2yz + 2zx) / (x² + y² + z²) ≤ (1+√33)/4
。
收起
