求解函数方程
函数f:R→R,f((x-y)/(x+y))=(f(x)-f(y))/(f(x)+f(y)),求f(x)=?
全部回答
设f可导，（或在某1点可导）
1。显然x=y，得f（0）=0，
y =0，得f（1）=1。
2。设y=ux==》
f((1-u)/(1+u))=(f(x)-f(ux))/(f(x)+f(ux))=
=2f(x)/(f(x)+f(ux))-1,
两边对x求导，得
0=2(f'(x)f(ux)-uf(x)f'(ux))/[(f(x)+f(ux))^2]==>
==>f'(x)f(ux)-uf(x)f'(ux))=0,u=y/x
==>xf'(x)/f(x)=yf'(y)f'(y)=常数C
3。
解微分方程：xf'(x)/f(x)=C
得：f(x)=Dx^C，代入f（1）=1==》D=1。
f:R→R==》C为自然数。
f（0）=0，C>0。
x=1==>f((1-y)/(1+y))=(1-f(y))/(1+f(y)),
==>((1-y)/(1+y))^C=(1-(y)^C)/(1+(y)^C), (1)
(1)两边对y求导,再y=0==》C=1
==》f(x)=x
4。
若无连续，可导等条件。可用Zorn定理构造
许多符合f((x-y)/(x+y))=(f(x)-f(y))/(f(x)+f(y))的函数,
但这些函数表示不出来，只能证明存在。
。
热点推荐
热度TOP
-
早泄患者如果不及时治疗会有什么危害？
3人阅读
-
广州建国医院是正规医院吗？
2236人阅读
-
做爱后阴道出血是怎么回事？
41人阅读
-
-
哈尔滨宾县医院有没有无痛引产
0人阅读
-
什么方法增高会对身体有伤害？
100人阅读
相关推荐
加载中...