证明证明实系数方程x^3+ax^2+bx+c=0有三个实根的充要条件是：18abc+a^2b^2≥27c^?+4a^3c+4b^3.
证明:
假设题目中的3次方程有3个复根u、v、w,依韦达定理知
{a=-(u+v+w)
{b=uv+vw+wu
{c=-uvw
记f=18abc+a^2b^2-27c^2-4a^3c-4b^3,将以上三式代入,并注意到当u、v、w中有两个相等时f=0,
故f含有因式(u-v)(v-w)(w-u)
将f进一步分解得：
f=(u-v)^2(v-w)^2(w-u)^2 。 。。 。。。 (1)
另方面,由三次函数性质知u、v、w中必有实数,不妨设实数为u。
若v、w均为实数,则由(1)知f≥0,必要性得证。
若v、w不全为实数,由虚根成对原理知v、w为共轭虚数,
设v=P+qi,w=P-qi。...全部
证明:
假设题目中的3次方程有3个复根u、v、w,依韦达定理知
{a=-(u+v+w)
{b=uv+vw+wu
{c=-uvw
记f=18abc+a^2b^2-27c^2-4a^3c-4b^3,将以上三式代入,并注意到当u、v、w中有两个相等时f=0,
故f含有因式(u-v)(v-w)(w-u)
将f进一步分解得：
f=(u-v)^2(v-w)^2(w-u)^2 。
。。 。。。 (1)
另方面,由三次函数性质知u、v、w中必有实数,不妨设实数为u。
若v、w均为实数,则由(1)知f≥0,必要性得证。
若v、w不全为实数,由虚根成对原理知v、w为共轭虚数,
设v=P+qi,w=P-qi。
P、q∈R,q不为0,i^2=-1,代回(1)得
f=-4q^2(P^2-2Pz+z^2+q^2)^2<0。
所以,f≥0则v、w均为实数,充分性也得证。
因此,原命题成立。
。
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