请教请教大侠：2a^2+2b^2
解：
`2a²+2b²-4(a+b)+2ab+3
=2(a+b)²-4(a+b)-2ab+3
令x=a+b, 则2ab=2a(x-a)=2ax-2a²
`2x²-(4+2a)x+2a²+3
=2[x-(2+a)/2]²+2a²+3-(2a+4)²/8
当x=(2+a)/2时有最小值2a²+3-(2a+4)²/8
`2a²+3-(2a+4)²/8
=(3/2)(a-2/3)²+1/3
显然当a=2/3时取得最小值1/3, 此时b=2/3。
简单些, ...全部
解：
`2a²+2b²-4(a+b)+2ab+3
=2(a+b)²-4(a+b)-2ab+3
令x=a+b, 则2ab=2a(x-a)=2ax-2a²
`2x²-(4+2a)x+2a²+3
=2[x-(2+a)/2]²+2a²+3-(2a+4)²/8
当x=(2+a)/2时有最小值2a²+3-(2a+4)²/8
`2a²+3-(2a+4)²/8
=(3/2)(a-2/3)²+1/3
显然当a=2/3时取得最小值1/3, 此时b=2/3。
简单些, 可由柯西不等式
`(a+b)²+(2-a)²+(2-b)²-5
=[(a+b)²+(2-a)²+(2-b)²](1²+1²+1²)/3-5
≥1/3*(a+b+2-a+2-b)²-5
=16/3-5
=1/3
当a+b=2-a=2-b时取等, 即a=b=2/3。
收起
