已知函数f(x)=lnx+2x-
已知函数f(x)=lnx+2x-6。求证:f(x)在其定义域内有且只有一个零点。
证明一 函数f(x)=lnx+2x-6的定义域为(0,+∞)。
(i)因为lnx,2x-6在(0,+∞)内都是增函数,所以f(x)=lnx+2x-6在(0,+∞)内是增函数,故知f(x)在(0,+∞)内之多只有一个零点；
(ii)因为f(1)=-40,
由函数f(x)在闭区间[1,3]上的连续性及零点定理知,f(x)在闭区间[1,3]上至少有一个零点。
由(i),(ii)知f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点。
证明二 函数f(x)=lnx+2x-6的定义域为(0,+∞)。
因为f(1)=-40,
由...全部
已知函数f(x)=lnx+2x-6。求证:f(x)在其定义域内有且只有一个零点。
证明一 函数f(x)=lnx+2x-6的定义域为(0,+∞)。
(i)因为lnx,2x-6在(0,+∞)内都是增函数,所以f(x)=lnx+2x-6在(0,+∞)内是增函数,故知f(x)在(0,+∞)内之多只有一个零点；
(ii)因为f(1)=-40,
由函数f(x)在闭区间[1,3]上的连续性及零点定理知,f(x)在闭区间[1,3]上至少有一个零点。
由(i),(ii)知f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点。
证明二 函数f(x)=lnx+2x-6的定义域为(0,+∞)。
因为f(1)=-40,
由函数f(x)在闭区间[1,3]上的连续性及零点定理知,f(x)在闭区间[1,3]上至少有一个零点,从而f(x)在(0,+∞)内至少有一个零点；
假设f(x)在(0,+∞)内至少有两个零点x1,x2,不妨设00,
这与f'(ξ)=0(ξ∈(x1,x2)包含于∈(0,+∞))矛盾。
所以f(x)在(0,+∞)内之多只有一个零点；
综上所述,f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点。
。收起
