关于函数奇偶性等高考函数
重点难点分析：
1．不能把一个完整的单调区间随意分成两个区间，例如y=3x的单调区间(-∞,+∞)不可以写成(-∞,0]
和[0,+∞)，也不能把本来不是一个区间的单调区间合起来。 例如y= 的单调递减区间是(-∞,0)和(0,
+∞)，而不能写成x∈R且x≠0。
2．设y=f(u),u=g(x)，复合函数y=f[g(x)]的增减性有下面二种情况：
（1）若u=g(x), y=f(u)在所讨论区间上都是递增或递减的，则y=f[g(x)]在该区间上为增函数。
（2）若u=g(x), y=f(u)，在所讨论区间上一个是递增的,另一个是递减的,则y=f[g(x)]在该区...全部
重点难点分析：
1．不能把一个完整的单调区间随意分成两个区间，例如y=3x的单调区间(-∞,+∞)不可以写成(-∞,0]
和[0,+∞)，也不能把本来不是一个区间的单调区间合起来。
例如y= 的单调递减区间是(-∞,0)和(0,
+∞)，而不能写成x∈R且x≠0。
2．设y=f(u),u=g(x)，复合函数y=f[g(x)]的增减性有下面二种情况：
（1）若u=g(x), y=f(u)在所讨论区间上都是递增或递减的，则y=f[g(x)]在该区间上为增函数。
（2）若u=g(x), y=f(u)，在所讨论区间上一个是递增的,另一个是递减的,则y=f[g(x)]在该区间上为
减函数。
3．奇函数或偶函数都是定义在关于原点对称区间上的函数，且等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是定义在
对称区间上的恒等式，而不是只对自变量的部分值成立的方程，所以，只要出现以下两种情况之一，函数就
不是偶函数或奇函数：
（1）定义域不是关于原点对称的区间
（2）f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)不是定义在定义域上的恒等式。
典型例题：
例1．求y=loga(-2x2+x+3)的递减区间
解：令u=-2x2+x+3>0得定义域为(-1,),
∵ u=-2(x-)2+3 , x∈(-1, ),
当x∈(-1, ]时，u=-2x2+x+3为增函数，
当x∈[ ,)时，u=-2x2+x+3为减函数。
（1）如果a>1，则y=logau为增函数， y=loga(-2x2+x+3)的递减区间为[ ,)。
（2）如果00)在区间(0,+∞)上的单调性，并证明。
解：任取x1, x2∈(0,+∞)且x11,1- 0，f(x1)>f(x2), f(x)在(0,]上是减函数。
(2) 当x1, x2∈[ ,+∞)时，x1x2>a, 00，此时(*)0,a>0, 根据均值不等式 ∴ x+ ，当且仅当x= 时取等号，即y最小。所以在x=
时函数图像是最低的，即函数图像从左向右是先降后升的，转折点是x=，可以自己画出函数草图。
例3．求y=cos(-2x)递增区间。
解：方法(1) 设u=-2x, y=cosu,
∵ u=-2x+为减函数，∴ 只需求y=cosu的递减区间，
2kπ≤-2x≤π+2kπ (k∈Z)
2kπ-≤-2x≤ +2kπ
-kπ+ ≥x≥--kπ。
∵ -k与k等效， ∴ kπ-≤x≤kπ+ 。
图示：
方法(2)，∵ cosu为偶函数， ∴ y=cos(2x-) u=2x- 为增函数。
∴ 只需求y=cosu递减区间，
2kπ+π≤2x-≤2kπ+2π
2kπ+ ≤2x≤2kπ+
kπ+≤x≤kπ+ 。
图示：
说明：形式不同，但区间相同。但更多是用方法(2)，容易理解并且不易出错。
例4．定义在(-2,2)上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)单调递减，若g(1-m)m2
m0时，f(x)=x-lg|x|，当x0，∵ f(x)奇函数，
∴ f(x)=-f(-x)
=-[(-x)-lg|-x|]
=-(-x-lg|x|)
=x+lg|x|。
本周练习：
一填空题：
1．函数y=(-x2+2x+3)单调递增区间是________。
2．函数f(x)=()|1-x|的单调递减区间是_________。
3．f(x)是定义在[-2，2]上的奇函数,且为减函数,若不等式f(2-a)+f(2a-3)1时，f(x)的表达式。
2．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并且在区间(-∞,0)上单调递增，f(2a2+a+1)1时，2-x1时，f(x)=x2-4x+5。
2．解：∵ f(x)是R上的偶函数，且在(-∞,0)上单调递增，
∴ f(x)在(0,+∞)上单调递减， ∵ 2a2+a+1=2(a+)2+ >0,
3a2-2a+1=3(a-)2+ >0
f(2a2+a+1)3a2-2a+1
∴ a2-3a<0
a(a-3)<0
0
又∵ y=()x为减函数，
∴ 要使 为减函数，需a的取值范围使a2-3a+1为增函数，即a≥。
综上得：≤a<3。
。收起
