如图,AB,CD是半径为5的⊙O
如图,AB,CD是半径为5的⊙O的两条弦,AB=8,CD=6,MN是直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,P为EF上的任意一点,求PA+PC的最小值。
已知MN为圆O直径,AB⊥MN,CD⊥MN
则,MN是弦AB、CD的垂直平分线
那么,C、D两点关于MN对称
即,PC=PD
所以,当PA+PC最小时,也就是PA+PD最小
显然,当点P为AD与EF的交点时,PA+PD=PA+PC就最小,最小值就是AD【如果点P不是上述交点,那么根据三角形两边之和大于第三边就知道,这样的点P不满足PA+PC最小】
连接OA、OC
已知AB=8,则AE=BE=4
而OA=5
所以,由勾股定理知OE=√...全部
如图,AB,CD是半径为5的⊙O的两条弦,AB=8,CD=6,MN是直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,P为EF上的任意一点,求PA+PC的最小值。
已知MN为圆O直径,AB⊥MN,CD⊥MN
则,MN是弦AB、CD的垂直平分线
那么,C、D两点关于MN对称
即,PC=PD
所以,当PA+PC最小时,也就是PA+PD最小
显然,当点P为AD与EF的交点时,PA+PD=PA+PC就最小,最小值就是AD【如果点P不是上述交点,那么根据三角形两边之和大于第三边就知道,这样的点P不满足PA+PC最小】
连接OA、OC
已知AB=8,则AE=BE=4
而OA=5
所以,由勾股定理知OE=√(OA^2-AE^2)=√(5^2-4^2)=3
同理,OF=4
过点D作AB的垂线,垂足为Q
因为AB//CD,且AB⊥MN
所以,四边形EFDQ为矩形
则,EQ=FD=3,DQ=EF=0E+0F=3+4=7
那么,AQ=AE+EQ=4+3=7
所以,在Rt△AQD中,AD=√(AQ^2+DQ^2)=√(7^2+7^2)=7√2
即,PA+PC的最小值为7√2。收起