正方形内接正三角形
证明 假设ΔEFG为正方形ABCD的任一内接正三角形，由于正ΔEFG三个顶点必落在正方形三边上，不妨设E在AD上，F在AB上，G在CD上。
取FG的中点为K，连DK，则E，K，G，D四点共圆，
故∠KDE=∠KGE=60°。
连AK，同理可得：∠KAE=∠KFE=60°。
所以ΔKDA为正三角形，而K它的一个顶点。
由此可知，内接正ΔEFG的边FG中点必是不动点K。
又正三角形面积由边长决定，
当KF⊥AB，边长为4，这时边长为最小，面积为4√3；
当KF通过B点，即F与B重合时，
易求得边长:4/cos15°=4(√6-√2),
这时边长最大，面积为16(2√3-3)。
此命题...全部
证明 假设ΔEFG为正方形ABCD的任一内接正三角形，由于正ΔEFG三个顶点必落在正方形三边上，不妨设E在AD上，F在AB上，G在CD上。
取FG的中点为K，连DK，则E，K，G，D四点共圆，
故∠KDE=∠KGE=60°。
连AK，同理可得：∠KAE=∠KFE=60°。
所以ΔKDA为正三角形，而K它的一个顶点。
由此可知，内接正ΔEFG的边FG中点必是不动点K。
又正三角形面积由边长决定，
当KF⊥AB，边长为4，这时边长为最小，面积为4√3；
当KF通过B点，即F与B重合时，
易求得边长:4/cos15°=4(√6-√2),
这时边长最大，面积为16(2√3-3)。
此命题用解析几何解也可
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