代数是以字母代替数,称因变量为自变量的函数,函数有定义域和值域,如 y=3x+4 中,x为自变量,y为因变量,称y是x的函数,值域为和定义域都是(-∞,+∞)。
当自变量的取值(定义域)只有0和1(非0即1),函数的取值也只有0和1(非0即1)——这种代数就是“逻辑代数”,这种变量就是“逻辑变量”,这种函数就是“逻辑函数”。
逻辑代数,亦称布尔代数,是英国数学家乔治布尔(George Boole)于1849年创立的。在当时,这种代数纯粹是一种数学游戏,自然没有物理意义,也没有现实意义。在其诞生100多年后才发现其应用和价值。
其规定:
1.所有可能出现的数只有0和1两个。
2.基本运算只有“与”、“或”、“非”三种。
“与”运算(逻辑与、逻辑乘)定义为(“与”运算符用 · 代替):
0·0=0, 0·1=0, 1·0=0, 1·1=1 (类似于“且”)
“或”运算(逻辑或、逻辑加)定义为(“或”运算符用 + 代替):
0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=1 (类似于“并”)
“非”运算(取反)定义为(“非”运算符是在变量上加一短横线):
0(取反)=1, 1(取反)=0 (类似于“补”)
说明:
A、“与”运算:设 某次试验有两个步骤,变量 0 表示“失败”,变量 1 表示“成功”,显然两个步骤必须都成功(即 1·1),该实验才算成功(=1);若两个步骤最多只有一个成功,该实验宣告失败(=0),故 0·0=0,0·1=0, 1·0=0。
B、“或”运算:设 机房规定必须带“学生证”或“身份证”才能进机房,“未带学生证”或“未带身份证”都用变量 0 表示,“已带学生证”或“已带学生证”都用变量 1 表示,“不能进机房”用变量 0 表示,“能进机房”变量 1 表示;根据规定,只要带了“学生证”或“身份证”中的任一个(即 0+1 ,1+0,1+1),都“能进机房”(=1),若二者都没带(即 0+0),则“不能进机房”(=0)。
在这里,1+1 表示两证件都带了,当然“能进机房”,即 1+1=1。
C、“非”运算:逻辑代数中,所有可能出现的数只有 0 和 1 两个,所以,0(取反)=1 ,1(取反)=0 ,即“非 0 即 1,非 1 即 0”。
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