#高考提分#(sin2x+1/sin2x)(cos2X+1/cos2x)的最小值。不能用基本不等式。
答案是25/4
全部回答
解法一：
x∈(0，π/2)，即0<sinx<1，0<cosx<π/2。
∴依柯西不等得，
[(sinx)^2+1/(sinx)^2][(cosx)^2+1/(cosx)^2]
≥[(sinxcosx)+1/(sinxcosx)]^2
=[(1/2)sin2x+2/(sin2x)]
≥[(1/2)+2]^2
=25/4。
上式取等号，得所求最小值为25/4。 解法二： 令a=(sinx)^2，b=(cosx)^2， ∵x∈(0，π/2)， ∴a、b∈(0，1)，a+b=1，ab≤[(a+b)/2]^2=1/4。
∴原式等价于 (a+1/a)(b+1/b) =(a/b+b/a)+[(ab)+(1/ab)] ≥2+[(1/4)+4] =25/4。 解法三： 令a=(sinx)^2，b=(cosx)^2， ∵x∈(0，π/2)， ∴a、b∈(0，1)，且a+b=1， 构造函数f(x)=ln(x+1/x)， 很易判定，当x∈(0，1)时，f(x)为下凸函数， ∴依Jensen不等式，得 f(a)+f(b)≥2f[(a+b)/2] →ln(a+1/a)+ln(b+1/b)≥2ln[(a+b)/2+2/(a+b)] →(a+1/a)(b+1/b)≥[(1/2)+2]^2 →[(sinx)^2+1/(sinx)^2][(cosx)^2+1/(cosx)^2]≥25/4。
上式取等号，得所求最小值为25/4。 其他如构造向量法、构造复数法等就不一一列出了!。
上式取等号，得所求最小值为25/4。 解法二： 令a=(sinx)^2，b=(cosx)^2， ∵x∈(0，π/2)， ∴a、b∈(0，1)，a+b=1，ab≤[(a+b)/2]^2=1/4。
∴原式等价于 (a+1/a)(b+1/b) =(a/b+b/a)+[(ab)+(1/ab)] ≥2+[(1/4)+4] =25/4。 解法三： 令a=(sinx)^2，b=(cosx)^2， ∵x∈(0，π/2)， ∴a、b∈(0，1)，且a+b=1， 构造函数f(x)=ln(x+1/x)， 很易判定，当x∈(0，1)时，f(x)为下凸函数， ∴依Jensen不等式，得 f(a)+f(b)≥2f[(a+b)/2] →ln(a+1/a)+ln(b+1/b)≥2ln[(a+b)/2+2/(a+b)] →(a+1/a)(b+1/b)≥[(1/2)+2]^2 →[(sinx)^2+1/(sinx)^2][(cosx)^2+1/(cosx)^2]≥25/4。
上式取等号，得所求最小值为25/4。 其他如构造向量法、构造复数法等就不一一列出了!。
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