若平面内有10条直线

10个圆可将一个长方形最多分割成几部分?

假如圆和长方形边可以相交 n个圆两两相交,可以把平面分成n^2-n+2部分, 不考虑圆外部分，那么共有n^2-n+1个部分 假设n个圆是等圆,圆心在同一直线上(n>1) 那么其中2n-2个月牙形状的部分,中间有一个橄榄形的 现在我们把一个长方形放上去,使得其中一组对边与这一系列圆相切 另一组对边与每个圆都分别相交 那么在相切的一边上就有n个切点,两边共增加2(n+1)部分 另一组对边把所有月牙形的部分分成两部分，增加2(n-1)部分 所以总共是: s(n)=n^2-n+1+2(n+1)+2(n-1)=n^2+3n+1 s(10)=131 10个圆可以把长方形分成131个部分 是不是最多?不...全部

  假如圆和长方形边可以相交 n个圆两两相交,可以把平面分成n^2-n+2部分, 不考虑圆外部分，那么共有n^2-n+1个部分 假设n个圆是等圆,圆心在同一直线上(n>1) 那么其中2n-2个月牙形状的部分,中间有一个橄榄形的 现在我们把一个长方形放上去,使得其中一组对边与这一系列圆相切 另一组对边与每个圆都分别相交 那么在相切的一边上就有n个切点,两边共增加2(n+1)部分 另一组对边把所有月牙形的部分分成两部分，增加2(n-1)部分 所以总共是: s(n)=n^2-n+1+2(n+1)+2(n-1)=n^2+3n+1 s(10)=131 10个圆可以把长方形分成131个部分 是不是最多?不知道如何证明 --------------------------------------------------------- 【补充说明】 (1)n个圆两两相交有2C(2,n)=n(n-1)个交点 (2)每个圆上有2(n-1)个交点,被分成了2(n-1)段弧,总计2n(n-1)段 (3)为使长方形被分成最多块,每条边都与n个圆相交于两点 且:(1)的所有交点都处于长方形内部 (4)长方形每条边上都有2n个交点,被分成2n+1条线段 共8n个交点,以及8n+4条线段 (5)每个圆处于长方形外的部分弧,根据(3)它们之间无交点 每段弧都被长方形截去一部分,每个圆在长方形四边外都如此 所以弧数增加4n段 (6)长方形原有4个顶点 (7) 把这个平面看成是一个以长方形为底面的多面体被压扁到长方形平面内形成的 顶点数v:n(n-1)+8n+4=n^2+7n+4 总边数e:2n(n-1)+8n+4+4n=2n^2+10n+4 由欧拉公式面数f=e-v+2=n^2+3n+2 由于底面其实不存在,所以总的块数是f-1 即:n^2+3n+1 由此看来131应该是最大的了 〖从这里也可以看到长方形的边与圆相切还是相交是不影响结果的,因为一个圆与一条边相交变为相切e和v都减少1〗 --------------------------------------------------------- 附图以n=3为例进行说明 原来共有n^2-3+1=7部分 有2n-2=4个月牙形(上下各2个) 每个月牙都被长方形分成2部分,增加4部分 一边上有3个切点,这组对边与圆之间有2(n+1)=8部分 所以共有:7+4+8=19部分 【是否等圆、圆心是否在一直线上,以及相切还是相交没有实质差别，只是为了画图方便美观，叙述方便】 。
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