初一几何题

如图，已知D是△ABC的边BC的边上的一点，且CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线。求证AC=2AE

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2011-08-12

0 0

过B点做AD的平行线交AE的延长线与F并连接DF, 延长AD交EF于G 则四边形ABFD是平行四边形,有AB=FD，BF//AD,AE=EF ∵∠BAD=∠BDA,AB=FD,CD=AC ∴BD=DF,DF=DC ∴∠DBF=∠DFB, ∠DFC=∠DCF 而∠FDB=∠DFE+∠DEF=2∠DEF 则180°=∠DBF+∠DFB+∠FDB=2∠DEF+2∠DBF 即∠DEF+∠DBF=90° ∴∠DFC=190-(∠DEF+∠DBF)=90° ∵AG//BF ∴AD⊥EF即DG⊥CF 而△DFE中DF=DC 则△DFC是等腰三角形 ∴由等腰三角形三线合一可知AG所在直线是FC的垂直平分线 ∴AC=AF=2AE 。
。

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小***

2011-08-12

34 0

最简单的证法可能是证相似。 BE/BD=BE/AB=1/2 AB/BC=1/2 角B为公共角，所以三角形ABE相似于CBA。得AE/AC=1/2。

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2***

2011-08-12

53 0

    延长AD到G，使得DG=AD 延长AE到F，使得AE=EF 连接FD和BG。目的是要证三角形ADF全等于GDB。易知AB=BD=DC，BE=ED，而AD=DG，AE=EF 所以三角形ADC全等于GDB（两边一夹角），AC=BG；三角形AEB全等于FED，FD=AB=BD，角EDF等于角EBA，所以AB平行DF，从而角BAD与角FDA互补。
     AB=BD，所以角BAD等于角BDA。角BDG与角BDA互补,也就是角BDG与角BAD互补，所以角BDG等于角FDA。所以三角形ADF全等于GDB（两边一夹角），AC=BG=AF=2AE。

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