随机变量
设随机变量(X,Y)满足E(X)=E(Y)=0,D(X)=D(Y)=1,Cov(X,Y)=ρ证明：E(max{X²,Y²})≤1+√(1-ρ²)
全部回答
证明：
Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=E(XY)=ρ
E(X²)=D(X)+E²(X)=1,E(Y²)=D(Y)+E²(Y)=1
利用恒等式max{a,b}=(a+b+|a-b|)/2
有：E(max{X²,Y²})=E[(X²+Y²+|X²-Y²|)/2]
=[E(X²)+E(Y²)]/2+E(|X²-Y²|)/2
=1+E(|X²-Y²|)/2
接下来要利用不等式：E²(|XY|)≤E(X²)E(Y²)
这里不妨来简单证明一下(不妨考虑连续型变量，离散型同理可证)
方法同证明Schwarz不等式一样
考虑∫∫[(t|x|-|y|)²p(x,y)]dxdy=
t²∫∫[x²p(x,y)]dxdy-2t∫∫[|xy|p(x,y)]dxdy+∫∫[y²p(x,y)]dxdy≥0
也即E(X²)t²-2tE(|XY|)+E(Y²)≥0,考虑到E(X²)≥0，我们分两种情况讨论
(Ⅰ)若E(X²)=0,此时-2tE(|XY|)+E(Y²)≥0对一切t∈R成立，则
E(|XY|)≡0
此时E²(|XY|)=E(X²)E(Y²)=0，显然不等式是成立的
(Ⅱ)若E(X²)>0,Δ=4E²(|XY|)-4E(X²)E(Y²)≤0
则E²(|XY|)≤E(X²)E(Y²)，不等式亦成立
从而该不等式得证
顺着这个思路，我们继续之前的证明
E(max{X²,Y²})=E[(X²+Y²+|X²-Y²|)/2]
=1+E(|X²-Y²|)/2=1+E[|X-Y||X+Y|]/2
≤1+(1/2)*√[E|X-Y|²*E|X+Y|²]
=1+(1/2)*√[E(X-Y)²*E(X+Y)²]
=1+(1/2)*√{[E(X²)+E(Y²)+2E(XY)]*[E(X²)+E(Y²)-2E(XY)]}
=1+(1/2)*√(2+2ρ)(2-2ρ)
=1+√(1-ρ²)
证毕。
。
。
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