超几何分布、正态分布的期望、方差的证明

    超几何分布 对X~H(n，M，N)，E(x)=nM/N 证明 ∑{k*C(k,M)*C(n-k,N-M)/C(n,N)=nM/N 等价于证∑{M*C(k-1,M-1)*C(n-k,N-M)}=C(n,N)*(nM/N) 等价于∑{C(k-1,M-1)*C(n-k,N-M)}=C(n,N)*(n/N) 等价于∑{C(k-1,M-1)*C(n-k,N-M)}=C(n-1,N-1) 考虑(1+x)^N-1 一方面(1+x)^N-1中x^N-1系数为C(n-1,N-1) 另一方面(1+x)^N-1=（1+x）^（N-M）*(1+x)^(M-1) =∑C(k,N-M)*∑C(k,M-1) 其中x^N-1系数又为∑{C(k-1,M-1)*C(n-k,N-M)} 故∑{C(k-1,M-1)*C(n-k,N-M)}=C(n-1,N-1) 故命题成立 对X~H(n，M，N)，D(X)=nM(N-M)(N-n)/[(N^2)(N-1)] D(X)=E(X^2)-(EX)^2 将E(x)代入即可 对于正态分布 设正态分布概率密度函数是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)] 其实就是均值是u，方差是t^2 于是： ∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t（*） 积分区域是从负无穷到正无穷，下面出现的积分也都是这个区域，所以略去不写了。
     （1）求均值 对（*）式两边对u求导： ∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0 约去常数，再两边同乘以1/(√2π)t得： ∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0 把(u-x)拆开，再移项： ∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx 也就是 ∫x*f(x)dx=u*1=u (2)方差 对(*)式两边对t求导： ∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π 移项： ∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2 也就是 ∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2 。
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