若abc∈(0+∞)

若a、b、c∈(0,+∞),且kabc/(a+b+c)≤(a+b)^2+(a+b+4c)^2,求k的最大值.

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2011-03-20

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由均值不等式得, (a+b)^2+(a+b+4c)^2 =(a+b)^2+[(a+2c)+(b+2c)]^2 ≥[2根(ab)]^2+[2根(2ac)+2根(2bc)]^2 =4ab+8ac+8bc+16c根(ab) 于是, {[(a+b)^2+(a+b+4c)^2]/abc}*(a+b+c) ≥[4ab+8ac+8bc+16c根(ab)](a+b+c)/abc] =[4/c+8/b+8/a+16/根(ab)](a+b+c) =8[1/(2c)+1/b+1/a+1/根(ab)+1/根(ab)](a/2+a/2+b/2+b/2+c) ≥8[5(1/2a^2b^2c)^(1/5)][5(a^2b^2c/16)^(1/5)] =100 ∴当且仅当a=b=2c>0时取等号, 故k的最大值为100。
。

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b***

2011-03-16

54 0

尽管是匿名，我还是作下答复吧，权当助人为乐！呵呵令a+b=tc，则c^2/(ab)=(a+b)^2/(abt^2)≥4/t^2，当且仅当a=b时取等号；由原不等式可得k≤2c^2(t^3+5t^2+12t+8)/(abt^2) 对所有t，c>0成立，因此k不超过右边的最小值！而2c^2(t^3+5t^2+12t+8)/(abt^2) ≥8(t^3+5t^2+12t+8)/t^2 =8(t+12/t+8/t^2)+40 =8[8×(t/8)+6×(2/t)+8/t^2]+40 ≥8{15[(t/8)^8×(2/t)^6×(8/t^2)]^(1/15)}+40 =8×(15/2)+40=100 (最后一个≥是依据平均值不等式！) 当且仅当t=4时取等号综上，当且仅当a=b=2c时，(a+b+c)[(a+b)^2+(a+b+4c)^2]/(abc)取得最小值100，因此，k的最大值为100。
。

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