数列定理证明
单调有界数列必有极限，书上证明略，请高手帮忙写一下详细过程。谢谢 ^_^
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设数列{an}是单调有界数列，下界A，上界B，记区间[A,B]为J1。
取A，B的中点，把区间J1分为两个闭子区间,这两个闭子区间中，必定有一个闭子区间不包含数列{an}的项或者只包含数列{an}的有限多项，而另一个闭子区间包含数列{an}的无限多项,记包含数列{an}的无限多项的闭子区间为J2。
取J2的中点,把区间J2分为两个闭子区间,这两个闭子区间中，必定有一个闭子区间不包含数列{an}的项或者只包含数列{an}的有限多项，而另一个闭子区间包含数列{an}的无限多项,记包含数列{an}的无限多项的闭子区间为J3。
…… 这样操作下去,得到一系列闭区间套:J1包含J2包含J3包含J4……,记B-A=D,则Jn的长度是D/(2^n-1),按闭区间套定理，这一系列闭区间套收敛于一点，记为e,可以证明e是数列{an}的极限。
对任意正数ε，存在m,满足ε≥（D/(2^m-1)），所以区间Jm的长度不大于ε，而Jm包含数列{an}的无限多项，且e∈Jm,按数列极限的定义，可知e是数列{an}的极限。
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取J2的中点,把区间J2分为两个闭子区间,这两个闭子区间中，必定有一个闭子区间不包含数列{an}的项或者只包含数列{an}的有限多项，而另一个闭子区间包含数列{an}的无限多项,记包含数列{an}的无限多项的闭子区间为J3。
…… 这样操作下去,得到一系列闭区间套:J1包含J2包含J3包含J4……,记B-A=D,则Jn的长度是D/(2^n-1),按闭区间套定理，这一系列闭区间套收敛于一点，记为e,可以证明e是数列{an}的极限。
对任意正数ε，存在m,满足ε≥（D/(2^m-1)），所以区间Jm的长度不大于ε，而Jm包含数列{an}的无限多项，且e∈Jm,按数列极限的定义，可知e是数列{an}的极限。
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