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已知函数 f(x)=x２－4ax ,a 属于实数,1)写出该函数的单调递增区间,并用增函数的定义证明:2)讨论函数 f(x)=x２－4ax 的奇偶性.
全部回答
已知函数 f(x)=x２－4ax ,a 属于实数,
1)写出该函数的单调递增区间,并用增函数的定义证明:
因 f(x)=x２－4ax =(x-2a)^2 -4a^2
所以f(x)的对称轴为：x=2a ,因抛物线开口向上，所以增区间为[2a,∞)
设 m > n>2a ,则f(m)-f(n)=m^2-n^2-4am+4an=(m-n)(m+n-4a)
因为m>n ,m+n>4a ,所以f(m)-f(n)=(m-n)(m+n-4a)>0，
所以f(x)的增区间为[2a,∞)
2)讨论函数 f(x)=x２－4ax 的奇偶性。
因f(-X)=x^2+4ax ,所以 若f(x)=f(-x),则x２－4ax =x^2+4ax ，即a=0 时，f(x)为偶函数， 否则f(x)不为偶函数。 若f(-x)=-f(x),则x２－4ax=-( x^2+4ax)，即x=0 ,为非对称区间， 所以F(x)不为奇函数。
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因f(-X)=x^2+4ax ,所以 若f(x)=f(-x),则x２－4ax =x^2+4ax ，即a=0 时，f(x)为偶函数， 否则f(x)不为偶函数。 若f(-x)=-f(x),则x２－4ax=-( x^2+4ax)，即x=0 ,为非对称区间， 所以F(x)不为奇函数。
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