解方程
求方程y'''+3”+3y'+y-1=0满足初始条件y(0)=y'(0)=y”(0)=0的特解。
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解:先解方程y'''+3y''+3y'+y=0。。。。。。(1)
此方程为常系数齐次线性常微分方程,其特征方程为
t^3+3t^2+3t+1=0。。。。。。(2)
即(t+1)^3=0
它有三重根t=-1。
因此方程(1)的解是 y=(c1+c2x+c3x^2)e^(-x) 由于y=1是原方程的特解,因此原方程的通解是 y=(c1+c2x+c3x^2)e^(-x)+1。 。
。。。。(3) 其中c1,c2,c3是任意常数。 由此可得 y'=(c2-c1+(2c3-c2)x-c3x^2)e^(-x)。。。。。。(4) y''=(2c3-2c2+c1+(-4c3-c2)x+c3x^2)e^(-x)。
。。。。。(5) 将初始条件y(0)=y'(0)=y''(0)=0代入(3),(4),(5)得 c1+1=0 c2-c1=0 2c3-2c2+c1=0 因此 c1=-1 c2=-1 c3=-0。
5 因此所求的特解为 y=(-1-x-0。5x^2)e^(-x)+1。 注:t^3表示t的3次方,e^(-x)表示e的-x次方,e是自然对数的底数。
因此方程(1)的解是 y=(c1+c2x+c3x^2)e^(-x) 由于y=1是原方程的特解,因此原方程的通解是 y=(c1+c2x+c3x^2)e^(-x)+1。 。
。。。。(3) 其中c1,c2,c3是任意常数。 由此可得 y'=(c2-c1+(2c3-c2)x-c3x^2)e^(-x)。。。。。。(4) y''=(2c3-2c2+c1+(-4c3-c2)x+c3x^2)e^(-x)。
。。。。。(5) 将初始条件y(0)=y'(0)=y''(0)=0代入(3),(4),(5)得 c1+1=0 c2-c1=0 2c3-2c2+c1=0 因此 c1=-1 c2=-1 c3=-0。
5 因此所求的特解为 y=(-1-x-0。5x^2)e^(-x)+1。 注:t^3表示t的3次方,e^(-x)表示e的-x次方,e是自然对数的底数。
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