2011-05-09
一道数学三角选择题平面内有一三角
利用反正法：设点H为锐角三角形ABC的垂心，向量OH=h，向量OA=a，向量OB=b，向量OC=c，
则h=(tanA a +tanB b +tanC c)/(tanA+tanB+tanC)。
设三个顶点的坐标分别为(a1, b1)(a2, b2)(a3, b3)，那么垂心坐标x=Δx/2/Δ，y=-Δy/2/Δ。
其中，Δ=det([x2-x1,x3-x2;y2-y1,y3-y2]);
Δx=det([(x1+x2)*(x2-x1)+(y1+y2)*(y2-y1),y2-y1;(x2+x3)*(x3-x2)+(y2+y3)*(y3-y2),y3-y2]); ...全部
利用反正法：设点H为锐角三角形ABC的垂心，向量OH=h，向量OA=a，向量OB=b，向量OC=c，
则h=(tanA a +tanB b +tanC c)/(tanA+tanB+tanC)。
设三个顶点的坐标分别为(a1, b1)(a2, b2)(a3, b3)，那么垂心坐标x=Δx/2/Δ，y=-Δy/2/Δ。
其中，Δ=det([x2-x1,x3-x2;y2-y1,y3-y2]);
Δx=det([(x1+x2)*(x2-x1)+(y1+y2)*(y2-y1),y2-y1;(x2+x3)*(x3-x2)+(y2+y3)*(y3-y2),y3-y2]);
Δy=det([x3-x2,(y2+y3)*(y3-y2);x3-x1,(y3+y1)*(y3-y1)+(x2-x1)*(x1-x3)]);
带入求证即可。
另外：垂心的向量特征：三角形ABC内一点O，向量OA·OB=OB·OC=OC·OA，则点O是三角形的垂心
证明
由OA·OB=OB·OC，得 OA·OB-OC·OB=0 (OA-OC)·OB=0 CA·OB=0，即OB垂直于AC边 同理由OB·OC=OC·OA，可得OC垂直于AB边 由OA·OB=OC·OA，得OA垂直于BC边 显然点O是三角形的垂心。
收起
