三棱柱中求体积
斜三棱柱ABC-A1B1C1中，角A1AB=角A1AC,AB=AC,A1A=A1B=a，侧面，B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120°，E、F分别是棱B1C1 A1A 的中点求经过A1、A、B、C四点的球的体积
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作AG⊥BC于G ,因AB=AC,故BG=GC。
作AH⊥平面ABC于H,因∠A1AB=∠A1AC,故H在AG上,A1A⊥BC。
因A1A=A1B,故AH=BH=CH,
作FO⊥A1A交A1H于O,则AO=BO=CO
因A1F=FA,故A1O=AO,于是O是经过A1、A、B、C四点的球的球心。
连EG,因E是斜三棱柱ABC-A1B1C1的棱B1C1的中点， 故A1E∥=AG, ∴A1A∥EG, ∴EG⊥BC, ∴∠AGE是二面角A-BC-E的平面角， ∵侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120°， ∴∠AGE=120°， ∴∠A1AH=60°，∠FA1O=30°， 又A1F=a/2, ∴A1O=（a/2)/cos30°=a/√3， ∴所求的球的体积=4/3*π（a/√3）^3=4(√3）πa^3/27。
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连EG,因E是斜三棱柱ABC-A1B1C1的棱B1C1的中点， 故A1E∥=AG, ∴A1A∥EG, ∴EG⊥BC, ∴∠AGE是二面角A-BC-E的平面角， ∵侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120°， ∴∠AGE=120°， ∴∠A1AH=60°，∠FA1O=30°， 又A1F=a/2, ∴A1O=（a/2)/cos30°=a/√3， ∴所求的球的体积=4/3*π（a/√3）^3=4(√3）πa^3/27。
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