相似矩阵证明任一复方阵必相似于一个上三
用归纳法。
A为n阶方阵。
1。
n=1时,命题显然。
2。
设n=k时,命题成立。
当A为k+1阶方阵时,
取p1为A的一个特征向量,
Ap1=λp1。
取p2,p3,。 。,p(k+1)使
p1,p2,p3,。。,p(k+1)为C^(k+1)的一个基。
设矩阵P=(p1,p2,。。,p(k+1))
==>
P^(-1)AP=P^(-1)(AP1,AP2,。 。。,AP(K+1))=
=P^(-1)(λP1,AP2,。。。,AP(K+1))=
=(P^(-1)λP1,P^(-1)AP2,。。。,P^(-1)AP(K+1))=
=(λE1,P^(-1)AP2,。 。。,P^(-1)A...全部
用归纳法。
A为n阶方阵。
1。
n=1时,命题显然。
2。
设n=k时,命题成立。
当A为k+1阶方阵时,
取p1为A的一个特征向量,
Ap1=λp1。
取p2,p3,。
。,p(k+1)使
p1,p2,p3,。。,p(k+1)为C^(k+1)的一个基。
设矩阵P=(p1,p2,。。,p(k+1))
==>
P^(-1)AP=P^(-1)(AP1,AP2,。
。。,AP(K+1))=
=P^(-1)(λP1,AP2,。。。,AP(K+1))=
=(P^(-1)λP1,P^(-1)AP2,。。。,P^(-1)AP(K+1))=
=(λE1,P^(-1)AP2,。
。。,P^(-1)AP(K+1)),
其中E1=(1,0,0。。,0)^t
==>
P^(-1)AP=
λ,b
0,A1
其中A1为为k阶方阵。
根据假设,Q^(-1)A1Q=B为k阶上三角阵,
其对角线元素为该矩阵的特征值。
设k+1阶方阵R=
1,0
0,Q
==>
R^(-1)=
1,0
0,Q^(-1)
==>
R^(-1)P^(-1)APR=
λ,bQ
0,B
是k+1阶上三角阵,其对角线元素为该矩阵的特征值。
命题得证。
上面使用矩阵的分块乘法。
。收起
