请教一个不等式设x,y,z∈R+
设x,y,z∈R+,x^2+y^2+z^2=3。试证
21+18xyz≥13(yz+zx+xy) (A)
这个不等式想了好久，无从下手。请教高手，现将证明附上。
证明如下
∵x,y,z∈R+,x^2+y^2+z^2=3。
∴所证不等式等价于
7(x^2+y^2+z^2)+18xyz≥13(yz+zx+xy) (1)
如果 7(x^2+y^2+z^2)≥13(yz+zx+xy),那么(1)式显然成立。
下面仅需在13(yz+zx+xy)>7(x^2+y^2+z^2)条件不证明(1)式成立。
下面先证
18/[√(3∑x^2)+∑x]>8/∑x ...全部
设x,y,z∈R+,x^2+y^2+z^2=3。试证
21+18xyz≥13(yz+zx+xy) (A)
这个不等式想了好久，无从下手。请教高手，现将证明附上。
证明如下
∵x,y,z∈R+,x^2+y^2+z^2=3。
∴所证不等式等价于
7(x^2+y^2+z^2)+18xyz≥13(yz+zx+xy) (1)
如果 7(x^2+y^2+z^2)≥13(yz+zx+xy),那么(1)式显然成立。
下面仅需在13(yz+zx+xy)>7(x^2+y^2+z^2)条件不证明(1)式成立。
下面先证
18/[√(3∑x^2)+∑x]>8/∑x (2)
(2)
5∑x>4√(3∑x^2)
上式平方得:
50∑yz>23∑x^2
由条件 13(yz+zx+xy)>7(x^2+y^2+z^2)即知上式成立。
故(2)式成立。
(1)式齐次化为
(7∑x^2-13∑yz)*∑x^2+18xyz∑x+18xyz[√(3∑x^2)-∑x]≥0 (3)
∵18xyz[√(3∑x^2)-∑x]
=18xyz[3∑x^2-(∑x)^2]/[√(3∑x^2)+∑x]
=18xyz*∑(y-z)^2/[√(3∑x^2)+∑x]
≥8xyz*∑(y-z)^2/∑x
∴欲证(3)式,只需证
(7∑x^2-13∑yz)*∑x^2+18xyz∑x+8xyz*∑(y-z)^2/∑x≥0 (4)
(4)
(7∑x^2-13∑yz)∑x*∑x^2+xyz[18(∑x)^2+8∑(y-z)^2]≥0 (5)
(5)式展开化简为
7∑x^5-6∑x^4*(y+z)+∑x^3*(y^2+z^2)-xyz(5∑x^2-8∑yz)≥0 (6)
设x=min(x,y,z),(6)式分解为
[7x^3+x^2*(y+z)+2x(y^2+z^2)-10xyz+2yz(y+z)](x-y)(x-z)+
[3x^2*(y+z)-6x(y^2+z^2)-17xyz+7(y^3+z^3)+8yz(y+z)](y-z)^2≥0 (7)
∵ 7x^3+x^2*(y+z)+2x(y^2+z^2)-10xyz+2yz(y+z)
=7x^3+(y+z)(x-y)(x-z)+3x(y-z)^2+yz(y+z-2x)>0
3x^2*(y+z)-6x(y^2+z^2)-17xyz+7(y^3+z^3)+8yz(y+z)
=3x^2*(y+z)+6(y-x)y^2+6(z-x)z^2+(y+z)(y-z)^2+yz(9y+9z-17x)>0。
∴(7)式成立。从而不等式(7)得证。
。收起
