高一数学已知A是三角形BCD所在平面外
已知A是三角形BCD所在平面外的点，角BAC=角CAD=角DAB=60度，AB=3，AC=AD=2求证AB垂直CD,求AB与平面BCD所成交的余弦值
如图
取CD中点E，连接AE、BE
已知AC=AD=2，∠CAD=60°
所以，△ACD为等边三角形
所以，CE=DE=1，且AE⊥CD………………………………（1）
又，AC=AD=2，∠BAC=∠BAD=60°，AB公共
所以，△ABC≌△ABD（SAS）
所以，BC=BD
已知点E为CD中点
所以，BE⊥CD………………………………………………（2）
而，AE∩BE=E
由(1)(2)知，CD⊥面ABE
所以，AB⊥CD
在△ABC中由...全部
已知A是三角形BCD所在平面外的点，角BAC=角CAD=角DAB=60度，AB=3，AC=AD=2求证AB垂直CD,求AB与平面BCD所成交的余弦值
如图
取CD中点E，连接AE、BE
已知AC=AD=2，∠CAD=60°
所以，△ACD为等边三角形
所以，CE=DE=1，且AE⊥CD………………………………（1）
又，AC=AD=2，∠BAC=∠BAD=60°，AB公共
所以，△ABC≌△ABD（SAS）
所以，BC=BD
已知点E为CD中点
所以，BE⊥CD………………………………………………（2）
而，AE∩BE=E
由(1)(2)知，CD⊥面ABE
所以，AB⊥CD
在△ABC中由勾股定理得到：BC^2=AB^2+AC^2-2AB*AC*cos∠BAC
=9+4-2*3*2*(1/2)=7
所以，BC=√7
因为BE⊥CE
所以，在Rt△BEC中由勾股定理得到：BE^2=BC^2-CE^2=7-1=6
所以，BE=√6
又，AE⊥CD
所以，在Rt△AEC中由勾股定理得到：AE^2=AC^2-CE^2=4-1=3
所以，AE=√3
那么，AE^2+BC^2=AB^2
则，△ABE为直角三角形
即，AE⊥BE
而，AE⊥CD
所以，AE⊥面BCD
那么，∠ABE就是AB与面BCD所成的角
则在Rt△AEB中有：cos∠ABE=BE/AB=√6/3。
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