求数列x,4x^2,9x^3……
当x=1时，S=1+4+9+。。。+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。
当x≠1时，
解法1：用“错位相减法”求和函数：
记 S=x+4x^2+9x^3+16x^4+。。。+(n-1)^2*x^(n-1)+n^2*x^n ①
则 xS= x^2+4x^3+9x^4+。 。。+(n-2)^2*x^(n-1)+(n-1)^2*x^n+n^2*x^(n+1) ②
①-②，得
(1-x)S=x+3x^2+5x^3+7x^4+。。。+(2n-3)x^(n-1)+(2n-1)x^n-n^2*x^(n+1) ③
故 x(1-x)S=x^2+3x^3+5x^4+7x^5+。 。。+(2n-3)x^...全部
当x=1时，S=1+4+9+。。。+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。
当x≠1时，
解法1：用“错位相减法”求和函数：
记 S=x+4x^2+9x^3+16x^4+。。。+(n-1)^2*x^(n-1)+n^2*x^n ①
则 xS= x^2+4x^3+9x^4+。
。。+(n-2)^2*x^(n-1)+(n-1)^2*x^n+n^2*x^(n+1) ②
①-②，得
(1-x)S=x+3x^2+5x^3+7x^4+。。。+(2n-3)x^(n-1)+(2n-1)x^n-n^2*x^(n+1) ③
故 x(1-x)S=x^2+3x^3+5x^4+7x^5+。
。。+(2n-3)x^n+(2n-1)x^(n+1)-n^2*x^(n+2) ④
③-④, 得
[(1-x)^2]S=x+2x^2+2x^3+。。。+2x^n-(n^2+2n-1)x^(n+1)+n^2*x^(n+2)
[其中 2x^2+2x^3+。
。。+2x^n 是等比数列的和]
=x+2x^2*[1-x^(n-1)]/(1-x)-(n^2+2n-1)x^(n+1)+n^2*x^(n+2)
即 [(1-x)^3]S=[x+x^2-(n+1)^2*x^(n+1)+(2n^2+2n-1)x^(n+2)-n^2*x^(n+3)
则 S=[x/(1-x)^3][1+x-(n+1)^2*x^n+(2n^2+2n-1)x^(n+1)-n^2*x^(n+2)]。
解法2：用级数展开间接法求和函数：
当x=0时，S=0。
当x≠0时，S=∑k^2*x^k,
则U=∫[S/x]dx=∫[∑k^2*x^(k-1)]dx=∑kx^k,
V=∫[U/x]dx=∫[∑kx^(k-1)]dx=∑x^k=x(1-x^n)/(1-x) 。
得U=xV’=[x-(n+1)x^(n+1)+nx^(n+2)]/(1-x)^2,
S=xU’=[x/(1-x)^3][1+x-(n+1)^2*x^n+(2n^2+2n-1)x^(n+1)-n^2*x^(n+2)]
(其结果包含了x=0时的情况)。
收起
