在四棱锥P-ABCD中,已知底面
(1)分别延长AD,BC,交于点E,连结PE。
在Rt△ABE中，AB∥CD,且CD/AB=1/2,故CD为△ABE中位线，故D为AE中点，所以DE=AD=PD=5,
故AE为△PAE外接圆圆D的直径，所以PE⊥PA。
因为底面ABCD⊥侧面PBC，且AB⊥BC,所以AB⊥侧面PBC,又PE⊥PA。根据三垂线定理有PE⊥PB,
故∠APB为侧面PAD与侧面PBC所成角的平面角。在Rt△PAB中，sin∠APB=AB/PA=2/3,
所以侧面PAD与侧面PBC所成角的正弦为2/3。
(2)在Rt△ABE中，解得BE=√96,在Rt△PBE中，解得PE=√91,在Rt△PAB中，解得P...全部
(1)分别延长AD,BC,交于点E,连结PE。
在Rt△ABE中，AB∥CD,且CD/AB=1/2,故CD为△ABE中位线，故D为AE中点，所以DE=AD=PD=5,
故AE为△PAE外接圆圆D的直径，所以PE⊥PA。
因为底面ABCD⊥侧面PBC，且AB⊥BC,所以AB⊥侧面PBC,又PE⊥PA。根据三垂线定理有PE⊥PB,
故∠APB为侧面PAD与侧面PBC所成角的平面角。在Rt△PAB中，sin∠APB=AB/PA=2/3,
所以侧面PAD与侧面PBC所成角的正弦为2/3。
(2)在Rt△ABE中，解得BE=√96,在Rt△PBE中，解得PE=√91,在Rt△PAB中，解得PB=√5,
故PE^2+PB^2=BE^2,所以PB⊥BE。所以△PBE面积S1=1/2×PE×PB=√455/2,△PCE面积S2=S1/2=√455/4。
又AB∥CD⊥侧面PBC，所以四面体A-PBE的体积V1=1/3×S1×AB=√455/6,四面体D-PCE的体积V2=1/3×S2×CD=√455/12,
所以四棱锥P-ABCD的体积 V=V1-V2=√455/12。
收起
