已知函数y=f(x)(x不等于0
已知函数y=f(x) (x不等于0) 满足对任意非零实数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y)
1、求证 f(1)＝f(-1)=0
2、求证 y=f(x) 是偶函数
3、若 y=f(x)在（0，正无穷）上是增函数，解不等式 f(x)+f(x-1/2)<0
1)。 令x=y=1得，f(1)=f(1)+f(1) ,所以f(1)=0
令x=y=-1 得，f(1)=f(-1)+f(-1) ，所以f(-1)=0
2)。令y=-1得:f(-x)＝f(x)+f(-1) ,所以 f(-x)＝f(x)
所以y=f(x)是偶函数
3)。 先证明f(x)在(-∝,0)上是减函数
设0＜x1＜x2...全部
已知函数y=f(x) (x不等于0) 满足对任意非零实数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y)
1、求证 f(1)＝f(-1)=0
2、求证 y=f(x) 是偶函数
3、若 y=f(x)在（0，正无穷）上是增函数，解不等式 f(x)+f(x-1/2)<0
1)。
令x=y=1得，f(1)=f(1)+f(1) ,所以f(1)=0
令x=y=-1 得，f(1)=f(-1)+f(-1) ，所以f(-1)=0
2)。令y=-1得:f(-x)＝f(x)+f(-1) ,所以 f(-x)＝f(x)
所以y=f(x)是偶函数
3)。
先证明f(x)在(-∝,0)上是减函数
设0＜x1＜x2 ，由已知得：f(x1)＜f(x2)
因为f(x)是偶函数，所以得：f(-x1)＜f(-x2)
但是此时-x1＞-x2＞0 ,所以f(x)在(-∝,0)上是减函数
令y=x- 1/2得：f(x(x-1/2))＝f(x) +f(x-1/2)
因为f(x)+f(x-1/2)＜0 ，f(1)=f(-1)=0
所以 f(x(x-1/2))＜f(1)或f(x(x-1/2))＜f(-1)
因为y=f(x)在（0,+∝）上是增函数,在(-∝,0)上是减函数
所以0＜x(x-1/2)＜1或-1＜x(x-1/2)＜0
即-1＜x(x-1/2)＜1且x(x-1/2)≠0
解得：(1-√17)/4 ＜x＜(1+√17)/4且x≠0,x≠1/2
。
收起
