高中数列1设数列{an}前n项和为Sn
(1)a1=1,a2=6,a3=11,得S1=1,S2=7,S3=18。把n=1,2分别代入
(5n-8)S(n+1)-(5n+2)Sn=An+B,得
A+B=-28
2A+B=-48。 。。A=-20,B=-8。
(2)证明:由(1)知,5(n+1)(S(n+1)-Sn)-8S(n+1)-2Sn=-20n-8。。①
又5(n+1)a(n+2)-5na(n+1)=-20(n+1)-8。 。②
②-①得5(n+1)a(n+2)-5na(n+1)-8a(n+2)-2a(n+1)=-20
即(5n-3)a(n+2)-(5n+2)a(n+1)=-20。。③
又(5n+2)a(n+3)-(5n+...全部
(1)a1=1,a2=6,a3=11,得S1=1,S2=7,S3=18。把n=1,2分别代入
(5n-8)S(n+1)-(5n+2)Sn=An+B,得
A+B=-28
2A+B=-48。
。。A=-20,B=-8。
(2)证明:由(1)知,5(n+1)(S(n+1)-Sn)-8S(n+1)-2Sn=-20n-8。。①
又5(n+1)a(n+2)-5na(n+1)=-20(n+1)-8。
。②
②-①得5(n+1)a(n+2)-5na(n+1)-8a(n+2)-2a(n+1)=-20
即(5n-3)a(n+2)-(5n+2)a(n+1)=-20。。③
又(5n+2)a(n+3)-(5n+7)a(n+2)=-20。
。④
④-③,得(5n+2)(a(n+3)-2a(n+2)+a(n+1))=0。因为5n+2≠0
所以a(n+3)-2a(n+2)+a(n+1)=0
所以a(n+3)-a(n+2)=a(n+2)-a(n+1),n≥1。
又a3-a2=a2-a1=5,
因此,数列{an}是首项为1,公差为5的等差数列。
要证√(5amn)-√(am-an)>1,
只要让5amn>1+aman+2√(aman)。
因为amn=5mn-4,aman=(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16,
故只要证5(5mn-4)>1+25mn-20(m+n)+16+2√(aman)。
即只要证20m+20n-37>2√(aman),
因为2√(aman)≤am+an=5m+5n-8<5m+5n-8+(15m+15n-29)=20m+20n-37
所以命题成立!。收起