数学
已知α、β为锐角，且3sin²α+2sin²β=1，3sin2α-2sin2β=0.求证：α+2β= π/2。
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已知α、β为锐角，且3sin²α+2sin²β=1，3sin2α-2sin2β=0。求证：α+2β= π/2。
证：3sin²α+2sin²β=1→3sin²α=1-2sin²β→3sin²α=cos2β。
。(1) 3sin2α-2sin2β=0→3sin2α=2sin2β→(3/2)sin2α=sin2β。。。。
(2) (1)^2+(2)^2: (3sin²α)^2+[(3/2)sin2α]^2=1→ (3sin²α)^2+[(3/2)*2sinαcosα]^2=1→ (3sin²α)^2+[(3sinαcosα]^2=1→ 9(sin²α)^2+9sin²α*cos²α=1→ 9(sin²α)*[sin²α+cos²α]=1→ 9(sin²α)*1=1→ sin²α=1/9代入3sin²α+2sin²β=1→ 3*(1/9)+2sin²β=1→ 2sin²β=2/3→ sin²β=1/3→ α、β为锐角→ sinα=1/3,sinβ=√3/3→ cosα=(2√2)/3,cosβ=√6/3→ sin2β=2sinβcosβ=(2√2)/3 cos2β=1-2sin²β=1/3 sin(α+2β)=sinαcos2β+cosαsin2β =(1/3)*(1/3)+(2√2)/3*(2√2)/3 =1/9+8/9 =1 0<α<π/2,0<β<π/2,0<2β<π,→0<α+2β<3π/2 ∴α+2β=π/2 。
。(1) 3sin2α-2sin2β=0→3sin2α=2sin2β→(3/2)sin2α=sin2β。。。。
(2) (1)^2+(2)^2: (3sin²α)^2+[(3/2)sin2α]^2=1→ (3sin²α)^2+[(3/2)*2sinαcosα]^2=1→ (3sin²α)^2+[(3sinαcosα]^2=1→ 9(sin²α)^2+9sin²α*cos²α=1→ 9(sin²α)*[sin²α+cos²α]=1→ 9(sin²α)*1=1→ sin²α=1/9代入3sin²α+2sin²β=1→ 3*(1/9)+2sin²β=1→ 2sin²β=2/3→ sin²β=1/3→ α、β为锐角→ sinα=1/3,sinβ=√3/3→ cosα=(2√2)/3,cosβ=√6/3→ sin2β=2sinβcosβ=(2√2)/3 cos2β=1-2sin²β=1/3 sin(α+2β)=sinαcos2β+cosαsin2β =(1/3)*(1/3)+(2√2)/3*(2√2)/3 =1/9+8/9 =1 0<α<π/2,0<β<π/2,0<2β<π,→0<α+2β<3π/2 ∴α+2β=π/2 。
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