数学问题:对于抛物线y=x^2和
1,对于抛物线y=x^2和实数k(k≠0)
(1)求证:存在一条不过原点,斜率为k的直线l和一个圆心在原点的圆O,使它们满足l交圆O于A,C,交y=x^2于B,D,且B是线段AC的中点, C是线段BD的中点
显然，当直线的斜率不存在时，它与抛物线只有一个交点，不满足条件
已知k≠0
设直线方程为：y=kx+b
如图，连接OA、OC、OB
因为A、C均在圆上，所以：OA=OC
又已知B为AC中点
所以，OB⊥AC
那么，Kob=-1/k
因为点B在抛物线y=x^2上，设点B(a,a^2)
那么，Kob=(a^2-0)/(a-0)=a
所以，a=-1/k
则，点B(-1/k,1/k^2)
所以...全部
1,对于抛物线y=x^2和实数k(k≠0)
(1)求证:存在一条不过原点,斜率为k的直线l和一个圆心在原点的圆O,使它们满足l交圆O于A,C,交y=x^2于B,D,且B是线段AC的中点, C是线段BD的中点
显然，当直线的斜率不存在时，它与抛物线只有一个交点，不满足条件
已知k≠0
设直线方程为：y=kx+b
如图，连接OA、OC、OB
因为A、C均在圆上，所以：OA=OC
又已知B为AC中点
所以，OB⊥AC
那么，Kob=-1/k
因为点B在抛物线y=x^2上，设点B(a,a^2)
那么，Kob=(a^2-0)/(a-0)=a
所以，a=-1/k
则，点B(-1/k,1/k^2)
所以，直线方程为：y-(1/k^2)=k(x+1/k)
即：y=kx+[1+(1/k^2)]
联立直线与抛物线方程，得到：
y=x^2
y=kx+[1+(1/k^2)]
===> x^2=kx+[1+(1/k^2)]
===> x^2-kx-[1+(1/k^2)]=0
===> x1+x2=k，x1x2=1+(1/k^2)
而，y1+y2=k(x1+x2)+2[1+(1/k^2)]
===> (x1+x2)/2=k/2，(y1+y2)/2=(1/2)[k^2+(2/k^2)]+1
上述x1、x2即为点B、D的横坐标
已知点C为BD中点
===> xC=k/2、yC=(1/2)[k^2+(2/k^2)]+1……………………（1）
又，点C在以原点为圆心的圆上
所以，圆的半径r^2=OC^2=(xC-0)^2+(yC-0)^2
=xC^2+yC^2
=(k^2/4)+(1/4)[k^2+(2/k^2)]^2+[k^2+(2/k^2)]+1
=(k^2/4)+(1/4)[k^4+4+(4/k^4)]+k^2+(2/k^2)+1
=(k^4+5k^2)/4+(1/k^4)+(2/k^2)+2
则，存在不为零的实数k，当直线y=kx+[1+(1/k^2)]与以原点为圆心，半径r^2=(k^4+5k^2)/4+(1/k^4)+(2/k^2)+2的圆相较于点A、C以及和抛物线y=x^2相交于点B、D时，能够满足B为AC中点且C为BD中点
(2)当(1)中的k值变化时,求点C纵坐标的最小值
在(1)的过程中，由(1)式得到点C的纵坐标为：
yC=(1/2)[k^2+(2/k^2)]+1
因为k≠0
所以，k^2＞0
所以：k^2+(2/k^2)≥2√[k^2*(2/k^2)]=2√2，当且仅当k^2=2/k^2时取等号
所以，yC≥(1/2)*2√2+1=√2+1
即，yC的最小值为√2+1
提示:由OB⊥AC求出B点(-1/k,1/k^2)写出l方程且它与抛物线有交点D,即过(-1/k,1/k^2)斜率为k直线及以O为圆心,|OC|为半径的圆符合条件的直线与圆(2) yc≥(√2)+1
2,已知椭圆C的两个焦点F1(1,2√2),F2(1,-2√2),离心率e=√6/3
(1)求椭圆C的方程 答案:(x-1)^2/4+(y^2/12)=1
已知椭圆的两个焦点F1(1,2√2)，F2(1,-2√2)
即，其焦点在直线x=1上，
所以，椭圆的长轴为直线x=1
且椭圆还关于x轴(y=0)对称，c=2√2
故可以设椭圆方程为：(x-1)^2/b^2+y^2/a^2=1
已知离心率e=c/a=√6/3
所以，a=c/(√6/3)=(2√2)/(√6/3)=2√3
又，b^2=a^2-c^2=(2√3)^2-(2√2)^2=4
所以，椭圆方程为：(x-1)^2/4+(y^2/12)=1
(2)是否存在直线l,使之与圆x^2+y^2=1相切,且切点是l与椭圆C的相交弦的中点?如果存在,求出方程; 如果不存在,请说明理由 答案:x=1
很显然，由圆与椭圆的对称性知，当x=1时，直线l：x=1与单位圆相切于点(1,0)，且直线与椭圆的交点为椭圆长轴的两个顶点，即(1,2√3)、(1,-2√3)，它们是关于点(1,0)对称的
所以，存在这样的直线x=1。
收起
