5、y=f(x)的反函数x=φ(y),
提问：和路雪
5、y=f(x)的反函数x=φ(y),
(1)x=φ(y)与y=φ(x)是同一函数,
(2)f'(x)=1/φ'(y)
(3)f'(x)=1/φ'(x)
为何由(1)(2)不能推出(3)
请详细解释"函数与变量用什么字母表示无关，但在对同一个问题的研究过程中不能混乱使用"
答：
1。 x=φ(y)与y=φ(x)不是同一函数，而是互为反函数。
2。f'(x)=1/φ'(y)是对的。
3。f'(x)=1/φ'(x)是错的。
以下是某网友类似的问题(2006/03/09)及我的回答(2006/03/10)，供参考。
问题：
y=f(x)的反函数x=φ(y),以下是否正确,请详...全部
提问：和路雪
5、y=f(x)的反函数x=φ(y),
(1)x=φ(y)与y=φ(x)是同一函数,
(2)f'(x)=1/φ'(y)
(3)f'(x)=1/φ'(x)
为何由(1)(2)不能推出(3)
请详细解释"函数与变量用什么字母表示无关，但在对同一个问题的研究过程中不能混乱使用"
答：
1。
x=φ(y)与y=φ(x)不是同一函数，而是互为反函数。
2。f'(x)=1/φ'(y)是对的。
3。f'(x)=1/φ'(x)是错的。
以下是某网友类似的问题(2006/03/09)及我的回答(2006/03/10)，供参考。
问题：
y=f(x)的反函数x=φ(y),以下是否正确,请详解错误原因
x'=φ'(y)*y'=>φ'(y)=1/y'=1/f'(x)=>φ'(x)=1/f'(y)
"但由上=>φ'(x)=1/f'(y)，如果x，y还是代表原来函数式中的x，y的意义，这样的记法就不正确了。
因φ的变
量是y,不能对x求导，f的变量是x,不能对y求导。这不属于我们所说的变量无所谓用哪个字母表示的那种情况。
事实上，因x=φ(y),φ要是对x求导那就是1，y=f(x),f对y求导也是1，那么φ'(x)=1/f'(y)实质上就是一个等
式1＝1。
这对求导是没有实际用处的。"
1、为何：因φ的变量是y,不能对x求导，f的变量是x,不能对y求导。
2、为何：这不属于我们所说的变量无所谓用哪个字母表示的那种情况
3、为何：因x=φ(y),φ要是对x求导那就是1，y=f(x),f对y求导也是1
4、为何：那么φ'(x)=1/f'(y)实质上就是一个等式1＝1。
这对求导是没有实际用处的
请详细解答！！
下面是我的回答：(2006/03/10)
计算x=tany两边的微分，得：dx=dy/cos^2(y)。
由此式可计算原函数x'=dx/dy，也可计算反函数y'=dy/dx。
此即“函数的导数等于反函数导数的倒数”(有点像绕口令！)
即x'=dx/dy=1/cos^2(y)，或dy/dx=cos^2(y)=1/(1+tan^2(y))=1/(1+x^2)。
以上是对你上一题的回答。
导数是微分概念的应用，对任一函数y=f(x)和其反函数x=g(y)，可以写出：
dy=f'(x)dx和dx=g'(y)dy，由此得出：dy/dx=f'(x)=1/g'(y)。其中函数f对x求导；而函数g是对y求导。
即“函数与反函数的导数互为倒数”，当然反函数中的自变量(y)还要换成用原函数的自变量x表示。收起
