初中几何

在Rt△ABC中，∠C=90度，D是AB的中点。E.F分别在BC.AC上，且DE⊥DF。求证：EF^2=AF^2+BE^2

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2009-01-04

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    在Rt△ABC中，∠C=90度，D是AB的中点。E。F分别在BC。AC上，且DE⊥DF。求证：EF^2=AF^2+BE^2 下面给出一个三角证法设∠DEB=x,∠BDE=y,∠EBD=z。
  则∠DFC=x,∠AFD=180°-x, ∠ADF=90°-y,∠DAF=90-z。   在△BDE，△ADF中,由正弦定理得 BD/sinx=DE/sinz=BE/siny; AD/sinz=DF/cosz=AF/cosy。
   ∵DE⊥DF,∠C=90°,∴C,E,D,F四点共圆，且EF为直径。故EF=CD/sinx。又∵D是Rt△ACB斜边上的中点，∴CD=AD=BD。   故 EF=BE/siny=AF/cosy, 因此AF^2+BE^2=EF^2*[(siny)^2+(cosy)^2]=EF^2。
   。

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T***

2009-01-04

47 0

在Rt△ABC中，∠C=90度，D是AB的中点。E。F分别在BC。AC上，且DE⊥DF。如图过点A作BC的平行线，交ED的延长线于G。
连接FG 因为AG//BE 所以，∠GAD=∠B 又，D为AB中点，所以：AD=BD ∠ADG=∠BDE 所以，△ADG≌△BDE（ASA）所以，AG=BE，DG=DE 而，FD⊥EG 所以，EF=FG 又，AG//BC 所以，△GAF为直角三角形所以，在Rt△GAF中，根据勾股定理有： GF^2=AF^2+AG^2=AF^2+BE^2 所以： EF^2=AF^2+BE^2。

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