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矩阵证明题,书P68,44

证明:任意一个秩为r的矩阵必可以表示成r个秩为1的矩阵之和。谢谢~!

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2008-12-28

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  很简单的题目,只是写起来太麻烦。
   因为R(A)=r,所以可以用一系列的行初等变换把A化为行阶梯形B,即存在可逆阵P,使PA=B; B中只有r行含非零元素,B可以写成r个矩阵的和 B=C1+C2+…+Cr,其中Ck(1≤k≤r)的第k行是B中的第k行,其余元素都是0,易知R(Ck)=1; 从而有PA=C1+C2+…+Cr,两边左乘P^,得到 A=P^C1+P^C2+…+P^Cr 这里P^Ck的秩为1(矩阵经初等变换,秩不变)(k=1,2,…,r)。

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