在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD
因为四边形ABCD为平行四边形，O为对角线交点
所以，OA=OC，OB=OD
则，S△AOB=S△AOD=S△BOC+S△COD
即，S四边形ABCD=4S△AOB…………………………………………（1）
设OA=OC=x，OB=OD=y
已知∠AOB=45°，那么∠BOC=180°-45°=135°
在△AOB中，由余弦定理有：AB^2=OA^2+OB^2-2OA*OB*cos∠AOB
===> 4=x^2+y^2-2xy*(√2/2)
===> x^2+y^2-√2xy=4…………………………………………（2）
同理，在△BOC中由余弦定理有：
BC^2=OB^2+OC^2-2OB*OC...全部
因为四边形ABCD为平行四边形，O为对角线交点
所以，OA=OC，OB=OD
则，S△AOB=S△AOD=S△BOC+S△COD
即，S四边形ABCD=4S△AOB…………………………………………（1）
设OA=OC=x，OB=OD=y
已知∠AOB=45°，那么∠BOC=180°-45°=135°
在△AOB中，由余弦定理有：AB^2=OA^2+OB^2-2OA*OB*cos∠AOB
===> 4=x^2+y^2-2xy*(√2/2)
===> x^2+y^2-√2xy=4…………………………………………（2）
同理，在△BOC中由余弦定理有：
BC^2=OB^2+OC^2-2OB*OC*cos∠BOC
===> 16=x^2+y^2-2xy*(-√2/2)
===> x^2+y^2+√2xy=16………………………………………（3）
(3)-(2)得：2√2xy=12
所以，√2xy=6
在△AOB中，由正弦定理有：S△AOB=(1/2)*OA*OB*sin∠AOB
=(1/2)x*y*(√2/2)
=(√2/4)xy
=(1/4)*6
=3/2
代入(1)就得到：S四边形ABCD=(3/2)*4=6。
收起
