大学高数求函数f(x)=xe^x的带有
带有peano型余项的n阶maclaurin公式，可以用【间接展开法】
①展开e^x为带有peano型余项的n-1阶maclaurin公式，
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^(n-1)/(n-1)!+o(x^(n-1)) ；
②上式两边同乘x，阶数可以提高一阶，恰好符合要求
xe^x=x+x^2+x^3/2!+x^4/3!+……+x^n/(n-1)!+o(x^n) 。
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如果用直接展开法，过程是这样的，
f(x)=xe^x，f(0)=0，
f'(x)=(x+1)e^x，f'(0)=1，
f"(x)=(x+2)e^x，f"(0...全部
带有peano型余项的n阶maclaurin公式，可以用【间接展开法】
①展开e^x为带有peano型余项的n-1阶maclaurin公式，
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^(n-1)/(n-1)!+o(x^(n-1)) ；
②上式两边同乘x，阶数可以提高一阶，恰好符合要求
xe^x=x+x^2+x^3/2!+x^4/3!+……+x^n/(n-1)!+o(x^n) 。
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如果用直接展开法，过程是这样的，
f(x)=xe^x，f(0)=0，
f'(x)=(x+1)e^x，f'(0)=1，
f"(x)=(x+2)e^x，f"(0)=2，
f'"(x)=(x+3)e^x，f'"(0)=3，
f^(x)=(x+4)e^x，f^(0)=4，
…… ……
f^(x)=(x+n)e^x，f^(0)=n，
所以f(x)=f(0)+f'(0)x+[f(0)/2!]x^2+[f'"(0)/3!]x^3+[f^(0)]x^4+……+[f^(0)/n!]x^n+o(x^n)
=x+x^2+x^3/2!+x^4/3!+……+x^n/(n-1)!+o(x^n) 。
这样的过程对于展开函数为带有拉格朗日型余项的n阶maclaurin公式，是必要的（当然还要求出 n+1 阶导数）。
但是对于【展开函数为带有peano型余项的n阶maclaurin公式】的问题，通常并不是必要的。
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楼上两位方法没错，但没看清题意中【n阶】的要求，所以答案错了，变成【n+1 阶】了。收起
