试证连接四面体相对边中点的直线互相平分

在正四面体ABCD中,M、P分别

解: 设正四面体ABCD棱长为a,E为棱BC中点,连接AE、DE,则Q、N分别在AE、DE上,且QN//AD。 过Q作QF//MN交AD于F,则MNQF为平行四边形,∠PQF是MN与PQ所成的角。 由于N为底面BCD的中心,AN⊥平面BCD,所以MN为Rt△AND斜边AD上的中线,则MN=1/2AD=a/2。 同理,有PQ=a/2。 又∵MF=NQ=a/3,DF=MF+DM=a/3+a/2=5a/6, ∴在△DFP中,由余弦定理得 FP^2=DP^2+DF^2-2DP×DF×cos∠PDF =(a/2)^2+(5a/6)^2-2×a/2×5a/6×cos60度 =19a^2/36。 ...全部

  解: 设正四面体ABCD棱长为a,E为棱BC中点,连接AE、DE,则Q、N分别在AE、DE上,且QN//AD。 过Q作QF//MN交AD于F,则MNQF为平行四边形,∠PQF是MN与PQ所成的角。
   由于N为底面BCD的中心,AN⊥平面BCD,所以MN为Rt△AND斜边AD上的中线,则MN=1/2AD=a/2。 同理,有PQ=a/2。 又∵MF=NQ=a/3,DF=MF+DM=a/3+a/2=5a/6, ∴在△DFP中,由余弦定理得 FP^2=DP^2+DF^2-2DP×DF×cos∠PDF =(a/2)^2+(5a/6)^2-2×a/2×5a/6×cos60度 =19a^2/36。
   在△PQF中,也由余弦定理得 cos∠PQF=(PQ^2+FQ^2-FP^2)/(2PQ×FQ) =(PQ^2+MN^2-FP^2)/(2PQ×MN) =[(a/2)^2+(a/2)^2-(19a^2/36)]/(2×a/2×a/2) =-1/18。
   由于两异面直线所成角为锐角或直角,因此,所求MN与PQ所成角为arccos(1/18)。 。收起