一道高中数学题

已知奇函数fx满足fx+2＝-fx且当x∈(0,1)时fx＝2^x则flog1/2,18

已知奇函数f(x)满足f(x+2)＝-f(x)，且当x∈(0,1)时f(x)＝2^x，求f(log(1/2)_18)其中，log(1/2)_18 表示以1/2为底，18的对数。 **************************************************************************解：用换底公式，得 log(1/2)_18 = (log2_18)/[log2_(1/2)] = [log2_(2×9)] / [log2_2^(-1)] ...全部

  已知奇函数f(x)满足f(x+2)＝-f(x)，且当x∈(0,1)时f(x)＝2^x，求f(log(1/2)_18)其中，log(1/2)_18 表示以1/2为底，18的对数。
  **************************************************************************解：用换底公式，得 log(1/2)_18 = (log2_18)/[log2_(1/2)] = [log2_(2×9)] / [log2_2^(-1)] = (1 + log2_9) / (-1) = - 1 - log2_9 ∵ f(x+2)＝-f(x) ∴ f(x+4)=f((x+2)+2) = - f(x+2) = f(x) 又，f(x)为奇函数， ∴ f(x+4)= - f(-x-4) 即有， f(x) = - f(-x-4) ∴ f(log(1/2)_18) = f( -1 - log2_9 ) = - f( 1 + log2_9 - 4 ) = - f( log2_9 - 3 ) = - f（log2_(9/8)） ∵ 对数函数log2_x为增函数，而 1＜9/8＜2 ∴ log2_1＜log2_(9/8)＜log2_2 即， 0＜log2_(9/8)＜1 由题意，当x∈(0，1)时，f(x)=2^x ∴ f（log2_(9/8)） = 2^[log2_(9/8)] = 9/8 ∴ f(log(1/2)_18) = - f（log2_(9/8)） = - 9/8 。收起