在椭圆x^2/a^2+y^2/b
切线、椭圆及两坐标轴所围图形的面积是切线、两坐标轴所围三角形的面积减去1/4椭圆面积,椭圆面积一定,
问题等价于使切线、两坐标轴所围三角形的面积为最小
设点P坐标为(m,n),m>0,n>0,则切线方程为:
xm/a^2+yn/b^2=1
令x=0,y=b^2/n
令y=0,x=a^2/m
三角形面积S=1/2（a^2b^2）/(mn)
求S最小值，即求mn最大值
m^2/a^2+n^2/b^2=1
n^2=b^2(1-m^2/a^2)=b^2/a^2*(a^2-m^2)
(mn)^2=m^2n^2=b^2/a^2*m^2(a^2-m^2)
mn的最大值,即求m^2(a^2-m^2)最大值...全部
切线、椭圆及两坐标轴所围图形的面积是切线、两坐标轴所围三角形的面积减去1/4椭圆面积,椭圆面积一定,
问题等价于使切线、两坐标轴所围三角形的面积为最小
设点P坐标为(m,n),m>0,n>0,则切线方程为:
xm/a^2+yn/b^2=1
令x=0,y=b^2/n
令y=0,x=a^2/m
三角形面积S=1/2（a^2b^2）/(mn)
求S最小值，即求mn最大值
m^2/a^2+n^2/b^2=1
n^2=b^2(1-m^2/a^2)=b^2/a^2*(a^2-m^2)
(mn)^2=m^2n^2=b^2/a^2*m^2(a^2-m^2)
mn的最大值,即求m^2(a^2-m^2)最大值
把m换作x,就转化为求f(x)=x^2(a^2-x^2)的最大值
f(x)=x^2(a^2-x^2)=-(x^2-a^2/2)^2+a^4/4
当x^2=a^2/2,x=√2/2*a,f(x)最大,mn最大,S最小
[这里的x就是原来的m,不作这个转换一样可以做]
即P点横坐标m=√2/2*a
此时:
n^2=b^2/a^2*(a^2-m^2)=b^2/2,n=√2/2*b
∴P(√2/2*a,√2/2*b)。
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