若矩形的长,宽,对角线的距离都是整数,求证：这个矩形的面积是12的倍数.
在矩形中,长宽以及对角线都是整数意味着,在由长（a）宽（b）和对角线（c）构成的直角三角形中,a^2 b^2=c^2且a,b,c均为正整数所以a,b,c满足a=k(m^2-n^2),b=2kmn,c=k(m^2 n^2)（其中k,m,n均为正整数）所以矩形面积为S=ab=2k^2*mn*(m-n)*(m n)1。 若m,n除以3余数相同,即m≡n(mod 3),则m-n必能被3整除,又因为m,n,(m-n),(m n)其中至少有一个是偶数,所以S能被12整除；（包含余数对为,,）2。若m,n分别除以3后,余数之和为3或0,则(m n)必能被3整除,又因为m,n,(m-n),(m n)其中...全部
在矩形中,长宽以及对角线都是整数意味着,在由长（a）宽（b）和对角线（c）构成的直角三角形中,a^2 b^2=c^2且a,b,c均为正整数所以a,b,c满足a=k(m^2-n^2),b=2kmn,c=k(m^2 n^2)（其中k,m,n均为正整数）所以矩形面积为S=ab=2k^2*mn*(m-n)*(m n)1。
若m,n除以3余数相同,即m≡n(mod 3),则m-n必能被3整除,又因为m,n,(m-n),(m n)其中至少有一个是偶数,所以S能被12整除；（包含余数对为,,）2。若m,n分别除以3后,余数之和为3或0,则(m n)必能被3整除,又因为m,n,(m-n),(m n)其中至少有一个是偶数,所以S能被12整除；（包含余数对为,）3。
若m,n中有一个除以3余0,则m和n中有一个必能被3整除,又因为m,n,(m-n),(m n)其中至少有一个是偶数,所以S能被12整除；（包含余数有一个为0的所有情况）上面三种情况包含了所有余数的情况综上所述,S总能被12整除,所以这个矩形的面积必为12的倍数。
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