高数

跃阶函数 怎么证明下列式子成立

我的回答仅作为一个参考。因为这个不是严格的广义函数论的，只是“数学物理方法”课里面讲的，楼主要是不要求严格的话应该可以按下面的做，但是要是要求数学上面十分严谨的话恐怕不行。 二维δ函数定义应该就是δ(x,y)=δ(x)δ(y)，而一维δ函数有一个重要性质就是δ(ax)=1/|a| δ(x)，这个式子可以用积分证明。 对于任意一个检验函数f(x)， ∫(-∞到 ∞)f(x)δ(ax)dx t=ax替换变量，如果a>0，积分上下限都不变，还是负无穷到正无穷，变成 (1/a)∫(-∞到 ∞)f(t/a)δ(t)dt；a小于0时候多一个负号，因为此时变成了正无穷积分到负无穷。 也就是(-1...全部

  我的回答仅作为一个参考。因为这个不是严格的广义函数论的，只是“数学物理方法”课里面讲的，楼主要是不要求严格的话应该可以按下面的做，但是要是要求数学上面十分严谨的话恐怕不行。 二维δ函数定义应该就是δ(x,y)=δ(x)δ(y)，而一维δ函数有一个重要性质就是δ(ax)=1/|a| δ(x)，这个式子可以用积分证明。
  对于任意一个检验函数f(x)， ∫(-∞到 ∞)f(x)δ(ax)dx t=ax替换变量，如果a>0，积分上下限都不变，还是负无穷到正无穷，变成 (1/a)∫(-∞到 ∞)f(t/a)δ(t)dt；a小于0时候多一个负号，因为此时变成了正无穷积分到负无穷。
   也就是(-1/a)∫(-∞到 ∞)f(t/a)δ(t)dt。综合a>0和a∫(-∞到 ∞)f(x)δ(ax)dx=(1/|a|)∫(-∞到 ∞)f(t/a)δ(t)dt 由δ(x)基本性质∫(-∞到 ∞)f(x)δ(x)dx=f(0)可以知道 ∫(-∞到 ∞)f(x)δ(ax)dx=(1/|a|)∫(-∞到 ∞)f(t/a)δ(t)dt=1/|a| f(0)。
   另一方面∫(-∞到 ∞)1/|a| δ(x)f(x)dx=1/|a| ∫(-∞到 ∞)f(x)δ(x)dx=1/|a| f(0) 所以∫(-∞到 ∞)f(x)δ(ax)dx=∫(-∞到 ∞)1/|a| δ(x)f(x)dx，也就是等式δ(ax)=1/|a| δ(x)。
   两个乘起来δ(ax,by)=δ(ax)δ(by)=1/|ab| δ(x)δ(y)=1/|ab| δ(x,y)。收起