利用极坐标计算，∫∫（4-x-y
解:已知x^2+y^2dφ∫(4-rcosφ-rsinφ)rdr
=∫dφ∫[4r-(cosφ+sinφ)r^2]dr
=∫{[2r^2-(cosφ+sinφ)r^3/3]}dφ
=∫[8(cosφ)^2-(8/3)(cosφ+sinφ)(cosφ)^3]dφ
=8∫(cosφ)^2dφ-(8/3)∫(cosφ)^4dφ
-∫(sinφ)(cosφ)^3dφ
=16∫(cosφ)^2dφ-(16/3)∫(cosφ)^4dφ-0
(在所给区间内前2式被积函数为偶函数,后1式为奇函数)
=16I2-(16/3)I4=3π
In=∫(cosφ)^ndφ=∫(sinφ)^ndφ
=[(n-1)!!...全部
解:已知x^2+y^2dφ∫(4-rcosφ-rsinφ)rdr
=∫dφ∫[4r-(cosφ+sinφ)r^2]dr
=∫{[2r^2-(cosφ+sinφ)r^3/3]}dφ
=∫[8(cosφ)^2-(8/3)(cosφ+sinφ)(cosφ)^3]dφ
=8∫(cosφ)^2dφ-(8/3)∫(cosφ)^4dφ
-∫(sinφ)(cosφ)^3dφ
=16∫(cosφ)^2dφ-(16/3)∫(cosφ)^4dφ-0
(在所给区间内前2式被积函数为偶函数,后1式为奇函数)
=16I2-(16/3)I4=3π
In=∫(cosφ)^ndφ=∫(sinφ)^ndφ
=[(n-1)!!/n!!]*(π/2),n为偶数,考研时可直接应用此公式。
In=[(n-1)!!/n!!],n为奇数。
n!!表示隔一个相乘到最小,如4!!=4*2,5!!=5*3*1。收起
