高中数学中的小问题：完全平方数包括0吗？“素数的幂”包括1吗？
（一）完全平方数的性质 一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,… 观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。 下面我们来研究完全平方数的一些常用性质： 性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。 性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。 证明 奇数必为下列五种形式之一： 10a 1, 10a 3, ...全部
（一）完全平方数的性质 一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,… 观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
下面我们来研究完全平方数的一些常用性质： 性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。 性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。 证明 奇数必为下列五种形式之一： 10a 1, 10a 3, 10a 5, 10a 7, 10a 9 分别平方后，得 (10a 1)^2=100a^2 20a 1=20a(5a 1) 1 (10a 3)^2=100a^2 60a 9=20a(5a 3) 9 (10a 5)^2=100a^2 100a 25=20 (5a 5a 1) 5 (10a 7)^2=100a^2 140a 49=20 (5a 7a 2) 9 (10a 9)^2=100a^2 180a 81=20 (5a 9a 4) 1 综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。 证明 已知m^2=10k 6，证明k为奇数。因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n 4或10n 6。
则 10k 6=(10n 4)^2=100 (8n 1)x10 6 或 10k 6=(10n 6)^2=100 (12n 3)x10 6 即 k=10 8n 1=2(5 4n) 1 或 k=10 12n 3=2(5 6n) 3 ∴ k为奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。 推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。 性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
这是因为 (2k 1)=4k(k 1) 1 (2k)=4 性质5：奇数的平方是8n 1型；偶数的平方为8n或8n 4型。 在性质4的证明中，由k(k 1)一定为偶数可得到(2k 1)是8n 1型的数；由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n 4型的数。
性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k 1。 因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m 1, 3m 2。平方后，分别得 (3m)=9=3k (3m 1)=9 6m 1=3k 1 (3m 2)=9 12m 4=3k 1 同理可以得到： 性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m 1, 16m 4,16m 9。 除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数字相加为2 5 6=13，13叫做256的各位数字和。
如果再把13的各位数字相加：1 3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。
我们可以得到下面的命题： 一个数的数字和等于这个数被9除的余数。 下面以四位数为例来说明这个命题。 设四位数为，则 = 1000a 100b 10c d = 999a 99b 9c (a b c d) = 9(111a 11b c) (a b c d) 显然，a b c d是四位数被9除的余数。
对於n位数，也可以仿此法予以证明。 关於完全平方数的数字和有下面的性质： 性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。 证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4这几种形式，而 (9k)=9(9) 0 (9k±1)=9(9±2k) 1 (9k±2)=9(9±4k) 4 (9k±3)=9(9±6k) 9 (9k±4)=9(9±8k 1) 7 除了以上几条性质以外，还有下列重要性质： 性质10：为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。
证明 充分性：设b为平方数，则 ==(ac) 必要性：若为完全平方数，=，则 性质11：如果质数p能整除a，但p的平方不能整除a，则a不是完全平方数。 证明 由题设可知，a有质因数p，但无因数，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因数的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。
性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若 n^2 n-m 又因为89为质数， 所以：n m=89; n-m=1 解之，得n=45。代入(2)得。
故所求的自然数是1981。 [例2]：求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方(1954年基辅数学竞赛题)。 分析 设四个连续的整数为，其中n为整数。欲证 是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。
证明 设这四个整数之积加上1为m，则 m为平方数 而n(n 1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n 1是奇数，因而n(n 1) 2n 1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。
[例3]：求证：11,111,1111,这串数中没有完全平方数(1972年基辅数学竞赛题)。 分析 形如的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即 或 在两端同时减去1之后即可推出矛盾。
证明 若，则 因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。 若，则 因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。 综上所述，不可能是完全平方数。 另证 由为奇数知，若它为完全平方数，则只能是奇数的平方。
但已证过，奇数的平方其十位数字必是偶数，而十位上的数字为1，所以不是完全平方数。 [例4]：试证数列49,4489,444889, 的每一项都是完全平方数。 证明 = = 1 =4 8 1 =4()(9 1) 8 1 =36 () 12 1 =(6 1) 即为完全平方数。
[例5]：用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？ 解：设由300个2和若干个0组成的数为A，则其数字和为600 3｜600 ∴3｜A 此数有3的因数，故9｜A。
但9｜600，∴矛盾。故不可能有完全平方数。 [例6]：试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同(1999小学数学世界邀请赛试题)。 解：设此数为 此数为完全平方，则必须是11的倍数。
因此11｜a b，而a,b为0,1,2,9，故共有(2,9), (3,8), (4,7),(9,2)等8组可能。 直接验算，可知此数为7744=88。 [例7]：求满足下列条件的所有自然数： (1)它是四位数。
(2)被22除余数为5。 (3)它是完全平方数。 解：设，其中n,N为自然数，可知N为奇数。 11｜N - 4或11｜N 4 或 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5 所以此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。
[例8]：甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元(第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)？ 解：n头羊的总价为元，由题意知元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数。
如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6。所以，的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元。 [例9]：矩形四边的长度都是小于10的整数(单位：公分)，这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积(1986年缙云杯初二数学竞赛题)。
解：设矩形的边长为x,y，则四位数 ∵N是完全平方数，11为质数 ∴x y能被11整除。 又 ,得x y=11。 ∴∴9x 1是一个完全平方数，而，验算知x=7满足条件。又由x y=11得。
[例10]：求一个四位数，使它等于它的四个数字和的四次方，并证明此数是唯一的。 解：设符合题意的四位数为，则，∴为五位数，为三位数，∴。经计算得，其中符合题意的只有2401一个。 [例11]：求自然数n，使的值是由数字0,2,3,4,4,7,8,8,9组成。
解：显然，。为了便于估计，我们把的变化范围放大到，於是，即。∵，∴。 另一方面，因已知九个数码之和是3的倍数，故及n都是3的倍数。这样，n只有24,27,30三种可能。但30结尾有六个0，故30不合要求。
经计算得 故所求的自然数n = 27。 (四)讨论题 1。(1986年第27届IMO试题) 设正整数d不等于2,5,13，求证在集合{2,5,13,d}中可以找到两个不同的元素a , b，使得ab -1不是完全平方数。
2。
求k的最大值~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~**********************************************************************素数，就是质数（网上这么说，但我记得2是质数但不是素数，其他的都一样），1肯定不是素数的幂啊，哪个质数的几次方等于一。收起
