已知平面内的一条直线于平面的一条斜线的夹角为60度
已知平面内的一条直线于平面的一条斜线的夹角为60度,这条直线与斜线在平面内的射影的夹角为30度,求平面的斜线与平面所成角的余弦值
如图
直线a为平面α的一条斜线，b为平面α内的一条直线，a与b的夹角为60°，且b与a在α内的射影的夹角为30°，求直线a与平面α所成夹角的余弦值
设直线a与平面α的交点为O，过点O在平面α内作直线b的平行线b'，那么a与b'的夹角（图中∠AOC）为60°
过直线a上某点A作平面α的垂线，垂足为B，则AB就是a在平面α内的射影，那么：图中∠BOC=30°
过点B作直线b'的垂线，垂足为C，连接AC
设AO=2m
因为AB⊥α，所以AB⊥b'
又，BC⊥b'
所以...全部
已知平面内的一条直线于平面的一条斜线的夹角为60度,这条直线与斜线在平面内的射影的夹角为30度,求平面的斜线与平面所成角的余弦值
如图
直线a为平面α的一条斜线，b为平面α内的一条直线，a与b的夹角为60°，且b与a在α内的射影的夹角为30°，求直线a与平面α所成夹角的余弦值
设直线a与平面α的交点为O，过点O在平面α内作直线b的平行线b'，那么a与b'的夹角（图中∠AOC）为60°
过直线a上某点A作平面α的垂线，垂足为B，则AB就是a在平面α内的射影，那么：图中∠BOC=30°
过点B作直线b'的垂线，垂足为C，连接AC
设AO=2m
因为AB⊥α，所以AB⊥b'
又，BC⊥b'
所以，b'⊥面ABC
即，OC⊥面ABC
所以，OC⊥AC
即，△ACO为直角三角形，已知∠AOC=60°，AO=4m
所以，OC=AO*cos60°=4m*(1/2)=2m
而，△BCO也是直角三角形，且∠BOC=30°
所以，OB=OC/cos30°=(2m)/(√3/2)=(4m)/√3
因为AB⊥平面α，所以△ABO为直角三角形，且∠AOB为直线a与平面α的夹角
所以，cos∠AOB=BO/AO=(4m/√3)(4m)=√3/3
即，直线a与平面α所成的夹角的余弦值为√3/3。
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