通径(过焦点与长轴垂直的弦)是最短的弦吗?
如果是,如何证明?
通径是过焦点的弦中最短的弦。
简单证明如下：
根据椭圆定义，
椭圆上任一点到焦点的距离与到准线距离的比是常数e(离心率)。
如图，
焦点F，长轴交准线于E
通径PQ=PF+QF=e(PM+QN)=2eFE
任一过焦点的弦AB，设AB中点G，GH垂直于准线，垂足E
GH为梯形ABDC中位线，
AB=AG+BG=e(AC+BD)=2eGN
FE≤GN
PQ≤AB
证毕。
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补充回答
如果EF与PQ重合，则GH=FE。
如果EF不与PQ重合，则AB在PQ两侧，
不失一般性，设B在PQ左侧，则FB在PQ左侧，
A在PQ右侧。
又准...全部
通径是过焦点的弦中最短的弦。
简单证明如下：
根据椭圆定义，
椭圆上任一点到焦点的距离与到准线距离的比是常数e(离心率)。
如图，
焦点F，长轴交准线于E
通径PQ=PF+QF=e(PM+QN)=2eFE
任一过焦点的弦AB，设AB中点G，GH垂直于准线，垂足E
GH为梯形ABDC中位线，
AB=AG+BG=e(AC+BD)=2eGN
FE≤GN
PQ≤AB
证毕。
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补充回答
如果EF与PQ重合，则GH=FE。
如果EF不与PQ重合，则AB在PQ两侧，
不失一般性，设B在PQ左侧，则FB在PQ左侧，
A在PQ右侧。
又准线在PQ右侧，所以BN>AC，
得FB>FA，AB中点G在BF上，G在PQ左侧，
G到准线距离GH大于PQ与准线之间距离FE，
即FE收起
