求最小值设x,y,z为非负实数,满足:
设x,y,z为非负实数,满足:x+y+z=1。求
Q=√(2-x)+√(2-y)+√(2-z) 的最小值。
我也来凑个热闹，给出此类在边界上取得最值问题的一种常用解法。
解 (磨光变换法)由对称性，不妨设x=0
所以有 Q=√(2-x)+√(2-y)+√(2-z)>= √(2-x’)+√(2-y’)+√(2-z’)
>= √2+√(2-y’)+√(2-z’) (1)
而 [√(2-y’)+√(2-z’)]^2=(2-y’)+(2-z’)+2√(2-y’)+√(2-z’)]
=4-(y’+z’)+2√[(4-2(y’+z’)+y’z’)]
=4-1+2√[(4-2*1+y’z’)]
=3...全部
设x,y,z为非负实数,满足:x+y+z=1。求
Q=√(2-x)+√(2-y)+√(2-z) 的最小值。
我也来凑个热闹，给出此类在边界上取得最值问题的一种常用解法。
解 (磨光变换法)由对称性，不妨设x=0
所以有 Q=√(2-x)+√(2-y)+√(2-z)>= √(2-x’)+√(2-y’)+√(2-z’)
>= √2+√(2-y’)+√(2-z’) (1)
而 [√(2-y’)+√(2-z’)]^2=(2-y’)+(2-z’)+2√(2-y’)+√(2-z’)]
=4-(y’+z’)+2√[(4-2(y’+z’)+y’z’)]
=4-1+2√[(4-2*1+y’z’)]
=3+2√(2+y’z’)
>=3+2√2
=(1+√2)^2,
√(2-y)+√(2-z)>= 1+√2 (2)
由(1),(2)即得
Q>=1+2√2。
当x=y=0,z=1时, Q=1+2√2,
因此,Q的最小值是1+2√2。
。收起
