最值问题十个正整数的和为2005,求它们平方和的最值。
将2005写成10个正整数的和的写法只有有限个，
因而必有一种写法，使其平方和达到最大或最小。
若正整数x1、x2、···、x10满足
x1+x2+···+x10=2005，且
x1^2+x2^2+···+x10^2达到最大。
不妨设x1≤x2≤···≤x10。
若x1>1，则
x1+x2=(x1-1)+(x2+1)，
∴[(x1-1)^2+(x2+1)^2]-(x1^2+x2^2)
=2(x2-x1)+2
≥2。
故用x1-1，x2+1代替x1、x2，它们的和不变，但平方程增大，
与x1^2+x2^2+···+x10^2取得最大值矛盾，即x1=1。
同理，x2=x3=···=x9...全部
将2005写成10个正整数的和的写法只有有限个，
因而必有一种写法，使其平方和达到最大或最小。
若正整数x1、x2、···、x10满足
x1+x2+···+x10=2005，且
x1^2+x2^2+···+x10^2达到最大。
不妨设x1≤x2≤···≤x10。
若x1>1，则
x1+x2=(x1-1)+(x2+1)，
∴[(x1-1)^2+(x2+1)^2]-(x1^2+x2^2)
=2(x2-x1)+2
≥2。
故用x1-1，x2+1代替x1、x2，它们的和不变，但平方程增大，
与x1^2+x2^2+···+x10^2取得最大值矛盾，即x1=1。
同理，x2=x3=···=x9=1，x10=1996。
故x1^2+x2^2+···+x10^2的最大值为：
9+1996^2=3984025。
再假设x1≤x2≤··≤x10，满足，x1+x2+···+x10=2005，且
x1^2+x2^2+···+x10^2达到最小值。
若存在xi、xj且xj-xi≥2(j>i)，则
[(xj-1)^2+(xi+1)^2]-(xj^2+xi^2)
=2(xi-xj)+2
≤-2。
故用xj-1、xi-1代替xj、xi时和不变，但平方和减小，
与x1^2+x2^2+···+x10^2取得最小值矛盾。
从而x1、x2、···、x10这10个数任意两数之差的绝对值不超过1。
从而，这10个数只能是5个200，5个201。
∴x1^2+x2^2+···+x10^2的最小值为：
5×200^2+5×201^2=402005。收起
