试证:σ₁(x₁,x₂)=(x₂,-x₁),σ₂(x₁,x₂)=(x₁,-x₂)是R²的两个线性变换，并求

试证:世界上任何个人,总有人彼此认识或者彼此不认识.

我们把"人"看作"点",把个人之间的关系看作染成颜色的线段。比如个人彼此认识就把连接个人的对应点的线段染成红色;个人彼此不认识,就把相应的线段染成蓝色,这样,有个人彼此认识就是存在一个边都是红色的三角形,否则就是存在一个边都是蓝色的三角形,这样本题就化作:已知有个点,任何点不共线,每点之间用线段连接起来,并染上红色或蓝色,并且一条边只能染成一种颜色。 证明:不管怎么染色,总可以找出三边同色的三角形。利用:"数缺形时少直观,形缺少时难入微"数形互助是一种重要的思想方法,主要体现在:几何问题代数化;利用图形图表解代数问题;构造函数,借用函数图象探讨方程的解。 ...全部

  我们把"人"看作"点",把个人之间的关系看作染成颜色的线段。比如个人彼此认识就把连接个人的对应点的线段染成红色;个人彼此不认识,就把相应的线段染成蓝色,这样,有个人彼此认识就是存在一个边都是红色的三角形,否则就是存在一个边都是蓝色的三角形,这样本题就化作:已知有个点,任何点不共线,每点之间用线段连接起来,并染上红色或蓝色,并且一条边只能染成一种颜色。
  证明:不管怎么染色,总可以找出三边同色的三角形。利用:"数缺形时少直观,形缺少时难入微"数形互助是一种重要的思想方法,主要体现在:几何问题代数化;利用图形图表解代数问题;构造函数,借用函数图象探讨方程的解。
   解:考虑其中一个点,设为,从点连出的条线段染了两种颜色,则必有三条线段同色,设。
  ,同为红色,若,,三线段中有一条红色,则必出现三边都是红色的三角形,若,,三条线段中没有一条红色,则这条三线段均为蓝色,这时就是一个三边都是蓝色的三角形,因而必出现三边都是同色的三角形。世界上任何个人,总有人彼此认识或者彼此不认识。
   此题主要考查了染色问题,利用代数法解几何题,往往是以较少的量的字母表示相关的几何量,根据几何图形性质列出代数式或方程(组),再进行计算或证明。
  特别地,证明几何存在性的问题可构造方程,利用一元二次方程必定有解的代数模型求证;应用为韦达定理,讨论几何图形位置的可能性。有些问题可通过改变形式或换个说法,构造等价命题或辅助命题,使问题清晰且易于把握。
  对于存在性问题,可根据问题要求构造出一个满足条件的结论对象,即所谓的存在性问题的"构造性证明"。收起