复数的问题

如果复数z满足不等式zＺ+iz-iＺ＜=0,求arg(z+i)的最大值与最小值? (Ｚ为复数z的共轭复数)

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2019-04-14

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将复数z化为z=x+iy的形式，则其共轭复数为x-iy，按照题设的要求代入后得到下式：x^2+y^2-2*y<=0（x^2表示x的平方），这是一个圆心在（0，1）半径为1的圆域，而要求的结果是arg(z+i),这是复数x+i(y+1)的复角，即arg(z+i)=arctan[(y+1)/x]，可以继续转化为arctan[(y-(-1))/(x-0)],这表示的是过(0,-1)点的直线斜率，而（x,y）在上述的圆内或圆周上。
于是本问题实际上是求过（0,-1）点且与圆相切的两条直线的斜率值。简单计算可得一个是60度，一个是120度。

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凯***

2019-04-14

48 0

楼上有步做错了, z的轨迹应该是以(0,1)为圆心, 1为半径的圆及内部, 而非(0,-1)为圆心. 所以z+i是以(0,2)为圆心, 1为半径的圆及内部. 画个图, 就很容易知道, 辐角是从pi/3到2pi/3.

提交

海***

2019-04-14

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    下面用z~来表示z的共轭复数。 zz~+iz-iz~=zz~+iz-iz~-i^2=(z+i)(z~-i)=(z+i)[(z+i)~]=|z+i|^2=|z-(-i)|=<1 这个复数不等式的几何意义等同于实数不等式x^2+(y+1)^2=<1，也就是以点(0,-1)为圆心，1为半径的圆的内部及其边界的点的集合。
     而式子z+i的几何意义是：由定点-i到动点Z的向量，它的辐角是由0到2Pi。所以arg(z+i)的最小值是0，最大值是2Pi。【可能把arg(z+i)中的z+i换成z-i或者别的什么，其结果会更美妙一些。
  】。

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